2020年山东省泰安市新泰市西部中考数学一模试卷一．选择题（共12小题）1．计算[（）2]3×[（）2]2之值为何？（）A．1B．C．（）2D．（）42．下列计算正确的是（）A．2x2•2xy＝4x3y4B．3x2y﹣5xy2＝﹣2x2yC．x﹣1÷x﹣2＝x﹣1D．（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣43．桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27 809平方公里．将27 809用科学记数法表示应为（）A．0.278 09×105B．27.809×103C．2.780 9×103D．2.780 9×1044．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm25．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A．B．C．D．7．关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣19B．﹣15C．﹣13D．﹣98．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（）A．1000（1+x）2＝3990B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990C．1000（1+2x）＝3990D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝39909．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π10．下列命题错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形一定有外接圆和内切圆C．等弧对等弦D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．412．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE ＝90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE＝BC②AF＝CF③BF2＝FG•FC④EG•AE＝BG•AB其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）13．计算：（π﹣3.14）0+2cos60°＝．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝．15．一次函数y＝kx﹣3k+1的图象必经过一个定点，该定点的坐标是16．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，、的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为．17．已知x，y为实数，y＝，则x﹣6y的值18．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：，其中a是方程﹣2x2﹣x+3＝0的解．20．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，CE⊥x轴于点E，且tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝1．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．21．2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．22．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG ＝3，求⊙O的半径．23．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？24．如图1，抛物线y＝﹣[（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC 面积的最大值；（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE＝OG；（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE 于点F，交OC于点G．若OE＝OG，①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．计算[（）2]3×[（）2]2之值为何？（）A．1B．C．（）2D．（）4【分析】先算乘方，再算乘法即可．【解答】解：原式＝（）6×（）4＝（）6×（）﹣4，＝（）2故选：C．2．下列计算正确的是（）A．2x2•2xy＝4x3y4B．3x2y﹣5xy2＝﹣2x2yC．x﹣1÷x﹣2＝x﹣1D．（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4【分析】根据整式的乘法、合并同类项、整式的除法以及平方差公式判断即可．【解答】解：A、2x2•2xy＝4x3y，错误；B、不是同类项不能合并，错误；C、x﹣1÷x﹣2＝x，错误；D、（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4，正确；故选：D．3．桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27 809平方公里．将27 809用科学记数法表示应为（）A．0.278 09×105B．27.809×103C．2.780 9×103D．2.780 9×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：27 809＝2.780 9×104．故选D．4．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，所以圆锥的母线长＝＝13，所以这个圆锥的侧面积＝•2π•5•13＝65π（cm2）．故选：B．5．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选：B．6．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A．B．C．D．【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，∴两人“心领神会”的概率是＝，故选：B．7．关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣19B．﹣15C．﹣13D．﹣9【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非正数求出a的范围，再根据不等式组无解求出a的范围，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．【解答】解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1＝2，整理得：（a﹣1）x＝3，由分式方程的解为非正数，得到≤0，且≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2，不等式组整理得：，由不等式组无解，得到＜4，解得：a＞﹣6，∴满足题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选：C．8．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（）A．1000（1+x）2＝3990B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990C．1000（1+2x）＝3990D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．故选：B．9．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π【分析】连接AC，根据菱形的性质求出∠BCD和BC＝AB＝6，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E为BC的中点，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE＝＝3，∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，故选：A．10．下列命题错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形一定有外接圆和内切圆C．等弧对等弦D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是假命题；B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题；C、等弧对等弦，是真命题；D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题；故选：A．11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x＝﹣1，可得x＝﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据﹣＝﹣1，得出b＝2a，再根据a+b+c＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x＝﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，∴②是正确；∵当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；∵由图象可知x＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C．12．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE ＝90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE＝BC②AF＝CF③BF2＝FG•FC④EG•AE＝BG•AB其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可；③假设BF2＝FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG＝∠FCB＝45°，由∠ACF＝45°，推出∠ACB＝90°，显然不可能，故③错误，④由△ADF∽△GBF，可得＝＝，由EG∥CD，推出＝＝，推出＝，由AD＝AE，EG•AE＝BG•AB，故④正确，【解答】解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，∴∠ADE＝×90°＝45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD＝AE，又∵四边形ABCD矩形，∴AD＝BC，∴AE＝BC②∵∠BFE＝90°，∠BFE＝∠AED＝45°，∴△BFE为等腰直角三角形，∴则有EF＝BF又∵∠AEF＝∠DFB+∠ABF＝135°，∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝135°，∴∠AEF＝∠CBF在△AEF和△CBF中，AE＝BC，∠AEF＝∠CBF，EF＝BF，∴△AEF≌△CBF（SAS）∴AF＝CF③假设BF2＝FG•FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG＝∠FCB＝45°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCF＝45°，∵∠CDF＝45°，∴∠DFC＝90°，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF＝180°﹣∠CGB，∠DAF＝90°+∠EAF＝90°+（90°﹣∠AGF）＝180°﹣∠AGF，∠AGF＝∠BGC，∴∠DAF＝∠BGF，∵∠ADF＝∠FBG＝45°，∴△ADF∽△GBF，∴＝＝，∵EG∥CD，∴＝＝，∴＝，∵AD＝AE，∴EG•AE＝BG•AB，故④正确，故选：C．二．填空题（共6小题）13．计算：（π﹣3.14）0+2cos60°＝2．【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝1+2×＝1+1＝2，故答案为：214．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝．【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵sin A＝＝，∴∠A＝60°，∴sin＝sin30°＝．故答案为：．15．一次函数y＝kx﹣3k+1的图象必经过一个定点，该定点的坐标是（3，1）【分析】把一次函数解析式转化为y＝k（x﹣3）+1，可知点（3，1）在直线上，且与系数无关．【解答】解：根据题意可把直线解析式化为：y＝k（x﹣3）+1，故函数一定过点（3，1）．故答案为：（3，1）．16．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，、的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为．【分析】作EF的中垂线交CD于G，则G为的圆心，H为的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE＝FG＝，根据四边形EGFH 是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE＝a，即可得到EF＝a．【解答】解：如图，作EF的中垂线交CD于G，则G为的圆心，同理可得，H为的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，设GE＝GD＝x，则CG＝2a﹣x，CE＝a，Rt△CEG中，（2a﹣x）2+a2＝x2，解得x＝，∴GE＝FG＝，同理可得，EH＝FH＝，∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，∴GO＝BC＝a，∴Rt△OEG中，OE＝＝a，∴EF＝a，故答案为：a．17．已知x，y为实数，y＝，则x﹣6y的值﹣2【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解得x＝﹣3，∴y＝，∴x﹣6y＝﹣3﹣6×＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．18．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．【分析】根据折叠可得ABNM是正方形，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG＝HN，列方程求出待定系数，进而求出PF的长，然后求PE的长．【解答】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，∴NC＝MD＝8﹣5＝3，在Rt△FNC中，FN＝＝4，∴MF＝5﹣4＝1，在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，∴△FNC∽△PGF，∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，解得：m＝1，∴PF＝5m＝5，∴PE＝PF+FE＝5+＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：，其中a是方程﹣2x2﹣x+3＝0的解．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再根据a是方程﹣2x2﹣x+3＝0的解，可以求得a的值，再将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入的a的值必须使得原分式有意义【解答】解：＝＝＝＝，由﹣2x2﹣x+3＝0，得x1＝﹣，x2＝1，当a＝1时，原分式无意义，当a＝﹣时，原式＝＝．20．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，CE⊥x轴于点E，且tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝1．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求解．【解答】解：（1）∵OB＝4，OE＝1，∴BE＝1+4＝5．∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝＝＝，∴OA＝2，CE＝2.5．∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣1，2.5）．∵一次函数y＝ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，∴，解得．∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2．∵反比例函数y＝的图象过C，∴2.5＝，∴k＝﹣2.5．∴该反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，解得点D的坐标为（5，﹣），则△BOD的面积＝4××＝1，△BOC的面积＝4××＝5，∴△OCD的面积为1+5＝6；（3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x＜﹣1或0＜x＜5．21．2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数即可补全图形；（2）用360°乘以二等奖人数所占百分比可得答案；（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题．【解答】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），补全条形图如下：（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°；（3）树状图如图所示，∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．22．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG ＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，先证明∠OCB＝∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC ⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE＝∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH＝3x，BH＝4x，则BE＝5x，所以BG＝BE＝5x，GH＝x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2＝（3）2，解方程得x＝3，接下来设⊙O的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r ﹣9）2+122＝r2，最后解关于r的方程即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE＝∠AFE，∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝＝设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x，∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2＝（3）2，解得x＝3，∴EH＝9，BH＝12，设⊙O的半径为r，则OH＝r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．23．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？【分析】（1）利用二元一次方程组解决问题；（2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值．【解答】解：（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得解这个方程组得：答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8﹣a）台，根据题意得解这个不等式组得∵a为正整数∴a的取值为2，3，4，∴该公司有3种购买方案，分别是购买甲型机器人2台，乙型机器人6台购买甲型机器人3台，乙型机器人5台购买甲型机器人4台，乙型机器人4台设该公司的购买费用为w万元，则w＝6a+4（8﹣a）＝2a+32∵k＝2＞0∴w随a的增大而增大当a＝2时，w最小，w最小＝2×2+32＝36（万元）∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．24．如图1，抛物线y＝﹣[（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．（1）求m、n的值；（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC 面积的最大值；（3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x＝2，再利用对称性得到2﹣（m ﹣2）＝2m+3﹣2，解方程可得m的值，从而得到A（﹣1，0），B（5，0），然后把A点坐标代入y＝﹣[（x﹣2）2+n]可求出n的值；（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，利用抛物线解析式确定C（0，3），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设N（x，﹣x2+x+3），则D（x，﹣x+3），根据三角形面积公式，利用S△NBC＝S△NDC+S△NDB可得S△BCN＝﹣x2+x，然后利用二次函数的性质求解；（3）先利用勾股定理计算出BC＝，再分类讨论：当∠PMB＝90°，则∠PMC＝90°，△PMC为等腰直角三角形，MP＝MC，设PM＝t，则CM＝t，MB＝﹣t，证明△BMP ∽△BOC，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB＝90°，则MP＝MC，设PM＝t，则CM＝t，MB＝﹣t，证明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣[（x﹣2）2+n]＝﹣（x﹣2）2﹣n，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点A和点B为对称点，∴2﹣（m﹣2）＝2m+3﹣2，解得m＝1，∴A（﹣1，0），B（5，0），把A（﹣1，0）代入y＝﹣[（x﹣2）2+n]得9+n＝0，解得n＝﹣9；（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，抛物线解析式为y＝﹣[（x﹣2）2﹣9]＝﹣x2+x+3，当x＝0时，y＝3，则C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（5，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设N（x，﹣x2+x+3），则D（x，﹣x+3），∴ND＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∴S△NBC＝S△NDC+S△NDB＝•5•ND＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，△NBC面积最大，最大值为；（3）存在．∵B（5，0），C（0，3），∴BC＝＝，当∠PMB＝90°，则∠PMC＝90°，△PMC为等腰直角三角形，MP＝MC，设PM＝t，则CM＝t，MB＝﹣t，∵∠MBP＝∠OBC，∴△BMP∽△BOC，∴＝＝，即＝＝，解得t＝，BP＝，∴OP＝OB﹣BP＝5﹣＝，此时P点坐标为（，0）；当∠MPB＝90°，则MP＝MC，设PM＝t，则CM＝t，MB＝﹣t，∵∠MBP＝∠CBO，∴△BMP∽△BCO，∴＝＝，即＝＝，解得t＝，BP＝，∴OP＝OB﹣BP＝5﹣＝，此时P点坐标为（，0）；综上所述，P点坐标为（，0）或（，0）．25．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE＝OG；（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE 于点F，交OC于点G．若OE＝OG，①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．【分析】（1）欲证明OE＝OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；（2）①欲证明∠ODG＝∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；②设CH＝x，由△CHE∽△DCH，可得＝，即HC2＝EH•CD，由此构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC+∠OCE＝90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE＝OG．（2）①证明：如图2中，∵AC，BD为对角线，∴OD＝OC，∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE．②解：设CH＝x，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1﹣x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1﹣x，∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG＝∠ACB﹣∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴＝，∴HC2＝EH•CD，∴x2＝（1﹣x）•1，解得x＝或（舍弃），∴HC＝．。