刚体做平面平行运动时，刚体中不在同一 直线上的任意三点到平面的距离相等，存 在三个约束条件，故刚体平面平行运动的 自由度为3
• 刚体的定点转动
若刚体上只有一个点固定不动，整个刚 体围绕此点转动，则此刚体做定点转动
刚体定点转动时，由于固 定点的3个坐标已经固定， 只剩下三个可以独立变化 的坐标变量，刚体定点转 动的故自由度为3
dT dW
• 三个定理所对应的守恒
动量守恒定律：刚体不受外力作用，或 外力相互抵消时，刚体的总动量守恒。 在某一方向力的分量为零，则在该方向 的动量分量守恒。
角动量守恒定律：刚体不受外力矩作用， 或外力矩相互抵消时，刚体的总角动量 动量守恒。在某一方向力矩的分量为零， 则在该方向的角动量分量守恒。
刚体做定轴转动时，刚体中的点（除转轴 上的点外）绕转轴做圆周运动，此时描述 刚体的运动只需要一个坐标变量，故刚体 绕定轴转动的自由度为1（描述刚体的转 动）
• 刚体的平面平行运动
若刚体内任意一点都平行于一固定平面 而运动，则此刚体做平面平行运动，刚 体中垂直于固定平面的直线上各点，其 运动状态完全相同，任何一个与固定平 面平行的刚体截面，其运动都可用来恰 当地代表刚体的运动
机械能守恒定律：作用于刚体的外力为 保守力时，刚体的总机械能守恒。刚体 只发生动能和势能的相互转换。
§5.4 刚体的定轴转动
刚体定轴转动的自由度为1
设量刚为体绕，转则轴角（速z轴度）为转：动r 的角&kr度变kr
刚体定轴转动的基本方程
质心定理：
m
d2rc dt 2
F (e)
F
FA
FB
刚体平动时的 动能
T
1 2
mvc2
1 2
mv2
刚体做定轴转动：设转轴为z轴，则
T
1 r
2
r L
1 2
J zz
2
1 2
I
2
其中 I Jzz x2 y2 dm r2dm
刚体平面平行运动
T
1 2
mvc2
1 2
I c 2
Ic 通过质心的转轴的转动动量
§5.3 刚体的动力学方程
• 刚体运动的动量定理
r 代表 距离转轴的垂直距离
刚体定点转动时的惯性是以张量 J 来度 量，刚体绕轴转动时的惯性则以转动惯 量 I 来度量，前者是张量，后者是标量
常见几何体的 转动惯量
I mR2 / 2
I 3mR2 / 2
（三）刚体的动能
• 在刚体中各质点与质心之间的距离恒定 不变，则刚体相对于质心的运动只可能 是围绕质点的转动，由此柯尼希定理变 为：
动量定理：
dP dt
N i1
Fi
F (e)
质心定理：
m
d2rc dt 2
F (e)
冲量定理：
P F(e)t I
• 刚体运动的角动量定理
对某一固定点的角动量定理：
d
dt
L
N i1
ri Fi
M
对质心的角动量定理：
d
dt
Lc
N i1
ri Fi M c
• 刚体运动的动能定理 刚体内任意两点间无相对位移，内力 不做功，外力对刚体所做的功等于刚 体动能的变化
刚体的平面平行运动可以看成为两种运 动的合成，即随刚体（或与之刚性联结） 的基点的平动，和绕通过基点并与运动 平面垂直的轴的转动！（通常取质心作 为基点）
三个坐标参量： xc , yc ,
质心的运动由质心定理确定；转动则由 转轴方向的角动量定理求解！
设质心的运动平面为 xy 平面，过质心 的转轴沿 z 方向，则由质心定理可得
• 例题：质量为M，半径为r的均质圆柱体 放在粗糙水平面上，柱的外端绕有轻绳 ，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一 个质量m的物体。圆柱体做纯滚动，并 且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求 绳子的张力T。
作业题
• 课后习题第五章 10，17， 21
角动量定理：
d dt
L
M
MA
MB
角动量方程的 z 分量方程为
I
d
dt
I
d2 dt 2
Mz
• 例题：一个质量m,长度L的细棒，绕着O 点在竖直平面内转动。棒的一端固定着 质量为M的质点。求：棒从水平位置静 止下落到最低点时候的角速度。
§5.5 刚体的平面平行运动
刚体的平面平行运动自由度为3
任意点的速度为
vi
ri
代入上面的式子，得角动量为
L
miri ri
mi ri2 ri ri
i
i
A (B C) B(C • A) C( A • B)
对于一固定坐标系有
ri
xi
i
ii
yj j
j
j
zk
k
kk
将上述两式代入角动量的表达式可得
L Lii Lj j Lkk
刚体平动时，刚体上各点的运动情况相 同，具有相同的速度和加速度，因此刚 体上任何一个质点的运动都可以代表刚 体的运动，故刚体平动的自由度为3（等 价于质点运动，3个坐标描述质心位置）
平动既可以是直线运动，也可以是曲线运动
• 刚体的定轴转动
刚体绕一固定轴线转动，称为刚体的定 轴转动，刚体在运动过程中如果有两点 固定不动，那么刚体的运动必然是定轴 转动，两固定点的连线就是转动轴（转 轴上的点都是固定不动的，其他的点则 围绕转轴做圆周运动）
Lz
J
zx
J xy J yy Jzy
r L
J
r
J xz x J yz y J zz z
J矩阵的每个分量均构成一个二阶张量， 称为刚体的惯量张量，J 矩阵称为惯量矩阵
惯量矩阵的对角元素
J J
xx yy
y2 z2 dm z2 x2 dm
J
zz
x2 y2 dm
J yx
i
mi xi yi
xydm
则角动量表达式可以写为
L J xx x J xyy J xz z i
J yx x J yyy J yz z j
J zx x J zyy J zz z k
采用矩阵表示，则角动量可以写为
Lx J xx
L Ly J yx
刚体的动能 = 刚体随质心运动的平动动能 + 刚体ห้องสมุดไป่ตู้质心转动的转动动能
刚体绕O点转动的动能
To
1 2
mi vi 2
1 2
mivi vi
To
1 2
mivi
ri
1
2
ri mivi
To
1 r
2
r L
1 r
2
J
r
1 2
(
J
2
xx x
J
yy
2 y
J
2
zz z
2J yzyz 2J zxzx 2J xyxy )
第五章：刚体力学
§5.1 刚体的运动
• 刚体、刚体运动及自由度
任何物体都可以看成是质点组，如果其中任 何两个质点之间的距离始终保持不变，这样 的物体（质点组）称作刚体
对于大多数固态物体来说，如果在运动过程 中，其大小和形变很小，即使受到拉伸或挤 压，变形也很小，则都可以近似为刚体
• 刚体的平动
在刚体中任意选定一条直线，如果刚体 运动时此直线始终保持平行，则这种运 动称为刚体的平动
刚体的内力不做功，当作用在刚体上的 外力是保守力时，刚体的总机械能守恒
T
V
1 2
mvc
2
1 2
I 2
V
E
讲解例题5.8
• 例题：质量m，半径R的匀质实心圆柱体 在倾角为 的斜面上作纯滚动。其所受 到的摩擦力大小为多少？圆柱体从静止 开始沿斜面滚下，其质心下降的垂直距 离为h时，这时质心的速度为多大？
m
d2 dt 2
rc
F
或
mmyxcc
Fx Fy
在质心坐标系中，刚体对过质心的轴做 定轴转动的角动量为
Lz I
则对质心轴的角动量定理的方程为：
d dt
Lz
I
d
dt
I
d2 dt 2
I&&
Mz
记
则
I M z
I M z
I 为刚体对过质心的转轴的转动惯量
为刚体转动时的角加速度
M z 为诸外力对质心的力矩之和的z分量
刚体绕 l 轴转动的角动量(选l 轴作为坐标 z 轴)
Ll
LeleJl eel l L
el
J
r
Ll 0
0
1
J xx J yx
J zx
J zzr Ir
J xy J yy J zy
J J
xz yz
0 0
r
J zz 1
• 转动惯量 I
I x2 y2 dm r2dm
引
J
xx
mi yi2 zi2
y2 z2 dm
入
记 号
J
yy
J
zz
i
mi
i
mi
i
zi2 xi2 xi2 yi2
z2 x2 dm x2 y2 dm
J
yz
J zy
mi yi zi yzdm
J
zx
J xz
i
mi zi xi
zxdm
i
J
xy
0
v
vA
a aA
定轴转动,取 基点A位于转 轴，则
vvaA0,arrA''
0
r'
平面平 行运动
v a
vA aA
r' r'