1 2 vV ( 1 2 3 )2 6E
切变模量与弹性模量 和泊松比之间的关系：
E G 2(1 )
1 vd [( σ1 σ 2 )2 (σ 2 σ 3 )2 (σ 3 σ1 )2 ] 6E
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
材料力学
第八章 组合变形
D
800
4、在还未选定工字钢型号之前， 可先不考虑轴向内力FN的影响，
C
根据弯曲强度条件来选择，然后
B
根据组合应力进行校核。
M max [ ] Wz 3 M max 1210 5 3 12 10 m Wz 100106 [ ] 3 120cm
A
C
2500
1500
FN~N
M~M (+)
F
max
+
(-)
=
(-)
查表选用:
I 16
3 W 141cm A 26.1cm2
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
D
800
C A
C
5、校核危险点 F M Cmax N max A Wz
B
2500
1500
40103 12106 2610 141103
材料力学
第八章 组合变形
材料力学期末考试
考试时间：6月7日（15周周六）上午8:30-10:30。 考试方式：闭卷、统考。 考试地点： 安全12-1、12-2： 3205
题型：5填空题+5计算题。
拉压、扭转、弯曲——2 应力状态和强度理论——1 组合变形及连接部分的计算——1
安全12-3、12-4： 3206
Mz z y Iy Iz
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对
于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下
最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点不 相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的 作用点及其值。
材料力学 （2）任意横截面 n-n 上 C 点的应力 由叠加原理，得 C点处的正应力为
第八章 组合变形

FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
My
FN
z Mz (y,z) y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩; ( zF，yF ) 为力 F 作用点的坐标; ( z，y) 为所求应力点的坐标. 河南理工大学土木工程学院
回顾
强度理论是关于材料破坏原因的假说。 从力学行为方面考虑，常用工程材料分作两类：脆性材料 和塑性材料。 r 第一类强度理论： r1 1 最大拉应力理论 最大伸长线应变理论
r 2 1 ( 2 3 )
第二类强度理论： 最大切应力理论
形状改变能密度理论 r 4 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
q
B l
120
q
M z max
A
z y
80
1 (q cos )l 2 8 M max cos 866N .m
1 M max ql 2 1kN .m 8
1 M y max (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯
曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。 河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为： 由于水平外力F1 由于竖直外力F2
弯
矩
弯曲正应力
My(x)=F1 x My z Iy
固端截面： M Z 1.6kN.m,
M y 2kN.m
M Z M y 6M z 6M y 6 1600 6 2000 max 11.52MPa 2 2 2 2 Wz Wy bh hb 9 18 18 9
河南理工大学土木工程学院
18cm
求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。 P2=1.6 kN z A P1=1 kN
r 3 1 3
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
材料力学
第八章 组合变形
材 料 力 学
第八章 组合变形
2014年6月26日
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
本 章 内 容
§8-1 概述 §8-2 两相互垂直平面内的弯曲 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法
河南理工工程实例
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
§8 – 2
双向弯曲
具有双对称截
面的梁，它在任何
一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向
河南理工大学土木工程学院
材料力学 故有中性轴的方程：
第八章 组合变形
My Iy
Mz z0 y0 0 Iz
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
z0 M z I y I y tanq tan y0 M y I z I z
2 其中φ角为合成弯矩 M M y M z2
与y的夹角。
河南理工大学土木工程学院
O
y
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
zF z0 yF y0 1 2 0 2 iy iz
用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距，则有
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
试选用工字钢型号。
D
800
C A B
2500 1500
F
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
D
800
l 25002 8002 2620 mm 2.62m
C
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
A
2500
1500
F
FCD
FAx
FCDy
A
FCDx
FAy
B F
0 0.8 FCD 2.5 F (2.5 1.5) 0 2.62 FCD 42kN
A
M
为计算方便将FCD分解 2.5 FCDx FCD 40kN 2.62 0.8 FCDy FCD 12.8kN 2.62
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
第八章 组合变形
外棱角的梁，求任何横截面上
最大拉应力和最大压应力时， 可直接按两个平面弯曲判定这 些应力所在点的位置，而无需 定出中性轴的方向角q。
(c)
工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考 虑剪力引起的切应力。
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
例8.1 图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知 q=0.5 kN/m，l=4 m，=30°，许用应力[]=10 MPa，试校
核该梁的强度。
q
q
B
1 M z max (q cos )l 2 8 z M max cos 866N .m
120
A
l 解：
M max
y
80
M y max
1 2 ql 1kN .m 8
1 (q sin )l 2 8 M max sin 500N .m
河南理工大学土木工程学院
100.5MPa
FN~N
M~M (+)
F
[ ] 100MPa
+
(-)
=
由于最大应力超出很小，超出 部分在5%以内，仍可认为是安
(-)
全的。因此可以选择 I16
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
二、偏心拉（压） (Eccentric loads）
当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴
安全12-5、重修： 3207
河南理工大学土木工程学院
压杆稳定——1
材料力学
第八章 组合变形
回顾
空间应力状态的应变能密度：
1 2 2 vε 12 2 3 2 σ1σ 2 σ 2σ 3 σ 3σ1 2E


体积改变能密度+形状改变能密度：
vε vV vd
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定 绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两 个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的
任意点处弯曲正应力为零。
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
*§8-7
榫齿连接
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第八章 组合变形
§8 –1 一、组合变形的概念
组合变形和叠加原理
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,
则构件的变形称为组合变形。