得分
0
3
5
8
10
理科人数
50
50
75
125
200
文科人数
25
25
125
0
25
第 23 题的得分统计表
得分
0
3
5
8
10
理科人数
30
52
58
60
200
2020高考数学 冲刺训练
文科人数
5
10
10
5
70
(1)完成如下 2×2 列联表，并判断能否有 99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；
已知随机变量 服从正态分布 ，且
，
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
等于（ ）
随机变量 服从正态分布 ，曲线关于 对ຫໍສະໝຸດ ，且，由，可知
，故选 B.
11. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】
2020高考数学 冲刺训练
在如图所示的正方向中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N 1,1 的密度曲线）
13.【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】
，所以
赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆
方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形
组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边
旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A． 27 64
【答案】B
B． 9 16
C． 81 256
D． 7 16
【解析】四名学生从四个地方任选一个共有 4444 256 种选法，
恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，
考虑先分堆在排序共有 C42 A43 6 4 3 2 144 种， 所以恰有一个地方未被选中的概率为 144 9 .
6.4
；
2020高考数学 冲刺训练
x2
1 500
35 0
623
68 5
658
270 10
3746 500
7.5 ；
x2 x1 以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，应选做第 23题.
2. 【河北省衡水市 2019 届高三下学期第三次质量检测】
某次数学知识比赛中共有 6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取 3 个题目进行作答，已知这 6 个题目中，
2020高考数学 冲刺训练
专题 09 概率统计
一、选择题
1. 【2020 届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，
简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去
1200200 400 5001002
80
11.42 10.828
700 500 300 900
7
有 99% 的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.
(2)全体高三学生第 22, 23题的平均得分分别为:
x1
1 700
75 0
753
200 5
125 8
225 10
4475 700
,
，则新数据 ,
准差分别为（ ） A．-4 -4 B．-4 16 C．2 8 D．-2 4 【答案】D
【解析】∵ , , ， 的平均数为 3，方差为 4，
∴
，
．
又
，
∴
，
的平均数和标
2020高考数学 冲刺训练
，
∴新数据 ,
的平均数和标准差分别为 ．
故选 D．
9. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理)试题】
计算阴影部分的面积为
S
阴影=
e 1
1
1 x
dx
=（x﹣
ln
x
）
e | 1
=e﹣1﹣ ln e +ln1=e﹣2．
2020高考数学 冲刺训练
所求的概率为
P=
S阴影 S矩形
e2 e
，
故选：C．
7. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知随机变量 服从正态分布 ，且
，
【答案】(1) 列联表见解析；有 99% 的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 选做第 23题，
理由见解析 【解析】（1）由数据表可得 2 2 列联表如下：
选做 22 题
选做 23题
总计
理科人数
500
400
900
文科人数
200
100
300
总计
700
500
1200
则 K 2 的观测值 k
如图所示的 5 个数据，去掉
后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数 变大 B．残差平和变大
C． 变大 D．解释变量 与预报变量 的相关性变强
【答案】B 【解析】由散点图知，去掉
后， 与 的线性相关加强，且为正相关，
所以 r 变大， 变大，残差平方和变小．故选 B．
10. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】
C．
D．
【解析】由图知,7 月,8 月,11 月的利润不低于 40 万元,故所求概率为
,故选 D.
3. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】
2020高考数学 冲刺训练
如图所示，分别以正方形 ABCD 两邻边 AB、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O．若向正方形内 投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为
，故选 C.
4. 【河北省衡水中学 2018—2019 学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】 如图，一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点
，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条
A．40 B．60 【答案】B 【解析】
C．80
D．120
试题分析：蚂蚁从 到 需要走五段路，其中三纵二竖，共有
甲只能正确作答其中的 4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为 2 ，且甲、乙两位同学对每个题目的作答 3
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】法一：设正方形的边长为 2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为
，所以该
质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为
.故选 C.
法二：设正方形的边长为 2.过 O 作 OF 垂直于 AB，OE 垂直于 AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为
，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为
三角形拼成的一个大等边三角形，设
，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三
角形的概率是
2020高考数学 冲刺训练
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在 中，
，
，
，由余弦定理，得
，
所以
.
所以所求概率为
.
故选 A. 14. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】 如图 1 为某省 2018 年 1~4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2018 年 1~4 月快递业务收入统计图，下列对 统计图理解错误的是（ ）
则 落 入 阴 影 部 分 （ 曲 线 C 为 正 态 分 布 N 1,1 的 密 度 曲 线 ） 的 点 的 个 数 的 估 计 值 为
N 10000 0.1359 1359 . 1
本题选择 B 选项.
12. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】
已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则 E （ ）
本题选择 D 选项.
二、填空题
1. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理)试题】
若从区间
（ 为自然对数的底数，
）内随机选取两个数，则这两个数之积不小于 的概率
为_____________．
【答案】2
【解析】设
，由 ，得 ，所以所求概率
．
三、解答题 1. 【2020 届河北省衡水中学高三上学期五调考试】 在 2018、2019 每高考数学全国Ⅰ卷中，第 22 题考查坐标系和参数方程，第 23 题考查不等式选讲.2018 年髙 考结束后，某校经统计发现:选择第 22 题的考生较多并且得分率也较高.为研究 2019 年选做题得分情况，该 校高三质量检测的命题完全采用 2019 年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的 选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做—道题): 第 22 题的得分统计表
选做 22 题
选做 23 题
总计
理科人数
文科人数
总计
(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，
并说明理由.
附: K 2
n ad bc2
a bc d a cb d
PK2 k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
A．2018 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B．2018 年 1~4 月的业务量同比增长率均超过 50%，在 3 月底最高 C．从两图来看，2018 年 1~4 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从 1~4 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 【答案】D 【解析】对于选项 A： 2018 年 1～4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，