～ 就是其时限信号 i （t）的频谱 F（ω）上各个 kω0 处的 值 Ck、Dk 经过线性组合后的结果。
２ 周期信号的 DFT 及其频率特性
离散后的 i，（t）信号为：
（14）
其中的参数为： Ts－采样时间间隔，N－T0 时间内的采样点数 那么离散周期信号～i （t）的 Fourier 变换为：
图 4 F（ω）的幅频特性 图 2、式（13）描述的 F（ω）和图 4、式（15）描述的 F（ω）比较后得，只有当采样的频率满足以下条件：
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DFT 傅氏算法的必要条件，现将其列出： Condition 1：信号必须是完全的周期信号； Condition 2： 信号中含有有限次斜波分量，且
最高次斜波分量角频率为（m-1）ω0； Condition 3：采样的周期必须是基频的周期； Condition 4：采样的频 率 必 须 满 足 式 （18）的 要
李吉德 赵作斌 廖哓波 长岛县供电公司 山东 长岛 265800
【摘要】为了保证微机保护的速动性，大部分微机保护的信号采集装置利用 DFT 来实现傅氏算
法的系数求解。 本文由连续信号的频域出发，推导出了基于 DFT 的傅氏算法离散信号频率特
性。通过对该频率特性的研究，既给出了基于 DFT 的傅氏算法在微机保护中的理论依据，又得
［3］ Jiang Huilan, Yang Wei, Xu Jianqiang, Liu Mei with Qiu Xiaofeng, “Improved Fourier algorithm for correcting power system frequency deviation”, Transactions of Tianjin University, pp. 193 -196, Vol. 7, No. 3, Sep. 2001.
求。
那么考虑在某一时刻 t 的信号值 i（t）和下一个 时刻 t+T0 的信号值 i（t+T0）：
则两个信号值之差为：
（21）
３ 引起 DFT 求解误差的若干因素讨论
由于电力系统发生故障的时候，微机保护中数 据采集装置所采集到的信号，不可能同时满足以上 4 种条件，因此，就系统故障时，信号中出现最多的 几种影响因素进行讨论。
［4］ 陈德树. 计算机继电保护原理与技术［M］. 北京: 中国电 力出版社, 1992.
［5］ 朱 桂 英, 龚 乐 年. 傅 氏 算 法 在 微 机 保 护 应 用 中 的 探 讨 ［J］. 电力系统及其自动化学报, 2005, 17(4): 41-43.
［6］ 李永丽, 马志宇. 傅氏变换理论在电力系统保护中的应 用［J］. 电力系统及其自动化学报, 2003, 15(5): 26-28.
（18） （m-1）ω0－周期信号 i（t）中的最高次斜波频率 才有：
（19）
利用基于 DFT 的傅氏算法求得的傅立叶系数 才和原始信号的傅立叶系数一致。
这样的话，我们就得到了在微机保护中，基于
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Journal of Shandong Electric Power College
流幅值误差是
， 其中 α 是幅值线性函数中时
间的斜率，以此看来，提高采样频率，即减少采样时 间间隔 Ts，对减少该误差是有帮助的。
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李吉德 赵作斌 廖哓波 微机保护中基于 DFT 傅氏算法的频率特性研究
4 结语
本文通过严格的数学推导和图形描述，将基于 DFT 的傅氏算法，进行频域上的频谱分析，从而将 傅立叶系数和信号频谱上的离散点， 做了一一映 射， 并通过对离散周期信号频谱上离散点的分析， 得到了基于 DFT 傅氏算法在微机保护中应用的 4 个必要条件，最后通过讨论电力系统故障时，引起 DFT 求解误差的若干因素，给出了为保持这 4 个必 要条件，所做出的相应修正。 进一步的证实了为使 微机保护中的 DFT 算法得到更准确的结果， 必须 使得信号满足这 4 个条件。
（12） 由于时域的乘积就是频域的卷积［1］，那么 F（ω） 的表达式为：
（13）
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根据图 1，我们可以得到连续时限信号～i （t）的 幅频特性为：
（15）
其中
， 根 据 式 （6） 和 （7）， 得 到 离 散 情 况
下，傅氏算法的形式为：
（7）
其中 r=０，１，２，…，m-1。 其中 F（ω）为 时 限 信 号～i （t）的 傅 立 叶 变 换 ，其 时限区间为（０，T０），即：
（8）
图 1 窗函数的幅频特性 每一个过零点位于 rω0 处，其中 r=0，±１，±２，… 而原始信号（3）式中 i（t）的傅立叶变换为：
（11） 那么 F（ω）的时域信号～i （t）就是 i（t）与窗函数 w（t）的乘积。
之间的关系， 误差的增大会造成保护判据的失灵， 达不到保护的可靠性要求。
因此，本文就电力系统故障中可能出现的几种 情况， 给出了基于 DFT 的傅氏算法应用所需要的 必要条件，而后简要介绍了几种消除误差的方法。
１ 周期信号的傅氏算法及其频率特性
按 照 文 献 ［5］中 的 要 求 ， 将 信 号 模 型 设 定 为 余 弦 函数模型，即信号为如下形式：
参考文献
［1］ Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky with S. Hamid Nawab, “Signals & Systems Second Edition”, PrenticeHall, March, 2002.
［2］ Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer with John R. Buck, “Discrete-Time Signal Processing Second Edition”, Prentice-Hall, September, 2002.
（16）
图 2 F（ω）的幅频特性 将所有分量取和得到的结果如下：
（17）
其中 r＝０，１，２，…，m-1。 根 据 式 （15），我 们 得 到F （ω）的 幅 频 特 性 如 下 图所示：
ˇ ˇ
ˇ
图 3 F（ω）的幅频特性 由上图可以发现，在连续信号中，经过移动后， 每一个窗函数的频谱曲线 CkW（ω-kω0）在 kω0 处的 贡献始终为 0，而傅立叶系数均在 F（ω）上的 kω0 处 取得，且 F（ω）在 每 一 个 kω0 处 的 值 始 终 为 CkT0 或 DkT０ 或（C０＋D０）T０，因此得到的傅立叶系数与式（7） 是一致的。 总的说来，傅氏算法得到的傅立叶系数 Ak、Bk，
３）信号中的衰减周期分量的影响。 在电动机启 动的时候，其启动电流在上升沿阶段，会产生一个 幅值逐渐增大的基频电流分量。 对保护而言，如何 能够准确的采得该电流的幅值，直接决定了保护是 不是能够对电动机的启动或短路加以正确的判断。 若假设上升沿阶段，基频电流的幅值是时间的一个 线性函数关系， 那么利用 DFT 算法得到的基频电
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式为： （1）式又可以表达为如下形式：

那 么～i （t）的 傅 立 叶 系 数 就 是 其 傅 立 叶 变 换 F （ω）在各个 rω0 的取值，r＝０，１，…，m－１。 接下来我们 （2） 来看 F（ω）的特性。 （3）式的傅立叶变换 F（ω）表达 成如下：
（9）
（3）
这就类似于， 原始信号加窗后的傅立叶变换，
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·电力工程·
微机保护中基于 DFT 傅氏算法的频率特性研究
Research on the Frequency Character of Fourier Algorithm based on DFT in Microprocessor-based Protection
而原始信号就是（3）式中的 i（t），其时域是从（－∞，
（4）
根 据 傅 氏 算 法 ［4］的 表 达 式 ，积 分 时 间 取 （0，T0）， 即从 0 时刻到第一个基频周期积分：
＋∞）， 而窗函数就是： 该函数的傅立叶变换如下：
（10）
（5）
其幅频特性曲线为：
上式又可以转换成如下形式： （6）
其中 r=０，１，２，…，m-1。 从以上看来， 傅氏算法其实就是分别计算 Cr 和 Dr，然后再计算 Ar 和 Br 的过程。 这样的话，我们 就直接分析 Cr 和 Dr 在傅氏变换中的频率特性。
（1）
参数如下： ω０－系统中的基频角频率； m－１－系统中的最高斜波次数； Ik－各次斜波的幅值； φk－各次斜波的相位； Ak－各次斜波余弦函数的幅值； Bk－各次斜波正弦函数的幅值。 按 照 文 献 ［5］， 得 到 各 次 斜 波 的 幅 值 和 相 位 表 达
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１）系统工频频率偏移的影响［3］。 电力系统中的 频率，并非一直保持在某一固定频率不变的，而是 随着系统运行方式、负荷的变化等动态变化的。 因 此，对于 DFT 算法来说，如果在频率变化较大的情 况下， 仍然以固定的工频作为基频， 进行 DFT 或 FFT 求解， 那么得到的系数必然会产生较大的误 差，从而对微机保护的可靠性产生影响。 系统工频 频率偏移的情况， 按照以上得到的 4 大必要条件， 就是条件 3 不满足的情况。
在这种情况下，将采样周期 T０，纠正为系统中 基频的周期 T，即对原来的采样数据窗 N，增加一 个附加修正的数据窗 △N，使得 N＋△N 所对应的周 期，为系统中的实际工频周期。 进而满足了 4 大必 要条件，从而求得准确的傅立叶系数。 具体的修正 方案，文献［3］中有详细的说明，在此不加赘述。
２）信号中的衰减直流分量的影响。 在电力系统 短路的瞬间，影响保护最大因素的就是信号中的衰 减直流分量， 由于其较长的衰减时间和较大的幅 值，对保护的动作判据影响十分大，是造成保护误 动或拒动的主要因素之一。 只要能够消除信号中的 衰减直流分量，那么就能够增强保护的可靠性。 以 下仅说明某种消除衰减直流分量的原理。