同济大学课程考核试卷（A卷）
2013—2014学年第二学期
命题教师签名：审核教师签名：
课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考试
此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷
（注意：本试卷共六大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。

要求写出解题过程，否则不予计分）
1. (24%) 定义双曲函数sinh z=1
2e z−e−z，cosh z=1
2
e z+e−z
(1)(8%)计算它们的导数（要求仍用双曲函数表示）。

(2)(8%)这两个函数是否有零点？说明理由。

(3) (8%)求出cosh z
sinh z 在扩充复平面上一切孤立奇点的类型
2.(16%)设f(z)为解析函数。

(1)(4%) 以下哪个函数可能是f(z)的实部？
A. x2+y2
B. x2y2
C. 1
x2+y2+1
D. x2−y2
(2)(6%)在第（1）题基础上，进一步要求f1=1，求f z。

(3)(6%) 求积分
f z dz
C
这里C为连接(0,0)和(2,0)的半圆弧。

3. (24%)设f z=sin z
1−z
(1) (8%) 求f(z)在0点的Taylor展开式中前三个非零项。

(2) (8%)求f(z)在1点的Laurent展开式中前三个非零项。

(3) (8%)求积分
dz
f(z)
z=14.(1) (8%)求积分
dθ
2π
(2) (8%)求函数
f x=
1−|x|−1<x<1
0x为其他值的Fourier变换。

5. (10%) 求解微分方程初值问题
x′′t+4x t=e t,x0=0,x′0=0.6.(10%) 证明：对任何一条给定的落在单位圆内部，且与单位圆正交的圆弧，必定存在一个由单位圆盘到其自身的分式线性变换，将该圆弧变为区间[-1,1]。