课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量数量积的坐标运算
1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( )
A ．－1
B ．－12
C.12
D ．1 2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3B ．3
C ．－ 3
D ．－3
3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，334 D ．(1，0) 题组2 向量模的问题
4．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( )
A ．42
B ．25
C ．8
D ．8 2
5．设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________．
6．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则||的最小值为________．
题组3 向量的夹角与垂直问题
7．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝
22
C ．a －b 与b 垂直
D ．a ∥b
8．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73
，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79
，－73 9．以原点O 和点A (5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠B ＝90°，求点B 和向量
的坐标．
10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝
5
2
，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
[能力提升综合练]
A.3
2
B．－
3
2
C．4 D．－4
2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A.8
65
B．－
8
65
C.16
65
D．－
16
65
4．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
5．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．
6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．7．已知O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
[学业水平达标练]
1. 解析：选D a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.
2. 解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－
3.选D. 3. 解析：选B 法一：设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，
则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.
由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3y ≠0，，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，
即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B. 法二：利用排除法．D 中，y ＝0，
∴D 不符合题意；C 中，向量⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，334不是单位向量， ∴C 不符合题意；A 中，向量⎝
⎛⎭⎪⎫32，12使得a ·b ＝2， ∴A 不符合题意．故选B.
4. 解析：选D 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，
所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，
所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.
5. 解析：a ∥b ，则2×(－2)－1·y ＝0，
解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1，2)，|3a ＋b |＝ 5.
答案： 5
6. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝h ，则A (2，0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )，则＝(2，－y )，＝(1，h －y )，
∴|
|＝25＋（3h －4y ）2≥25＝5. 故|
|的最小值为5. 答案：5
7. 解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12
＝0，故a －b 与b 垂直．
8. 解析：选D 设c ＝(m ，n )，
则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，
由(c ＋a )∥b ，
得－3(1＋m )＝2(2＋n )，
又c ⊥(a ＋b )，得3m －n ＝0，
故m ＝－79，n ＝－73.
9. 解：设点B 坐标为(x ，y )，
则＝(x ，y )，＝(x －5，y －2)．
∵⊥，
∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，
即x 2＋y 2－5x －2y ＝0.
又∵||＝||，
∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2，
即10x ＋4y ＝29.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2
－5x －2y ＝0，10x ＋4y ＝
29， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32，或⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝32，
y ＝72.
∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72.
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，32.
10. 解：(1)设c ＝(x ，y )，
∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，
∴x 2＋y 2＝20.
由c ∥a 和|c |＝25，
可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－2，y ＝－4.
故c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．
(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，
∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，
∴2×5＋3a ·b －2×54
＝0， 整理得a ·b ＝－52
， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |
＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
[能力提升综合练] 1.
解得m ＝4.
2. 解析：选C 设P (x ，0)，则
＝(x －2，－2)，＝(x －4，－1)，∴＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ―→·BP ―→最小，此时点
P 的坐标为(3，0)．
3. 解析：选C 设b ＝(x ，y )，
则2a ＋b ＝(8＋x ，6＋y )＝(3，18)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12， 故b ＝(－5，12)，
所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665
. 4. 解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，
∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，
∴|a －b |＝ 5. 答案： 5
5. 解析：依题意设B (cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，
解得θ＝3π4， 所以＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－22，22.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2
2，22
6. 解析：因为a 与b 的夹角为锐角， 所以0<a ·b
|a ||b |<1，
即0<3λ2＋4λ
5λ2×9λ2＋4<1，
解得λ<－43或0<λ<13或λ>1
3.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－4
3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1
3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3，＋∞
7. 解：假设存在点M ，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， 即45λ2－48λ＋11＝0，
解得λ＝1
3或λ＝1115.
∴存在M (2，1)或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫225，11
5满足题意．。