平面向量的数乘运算知识点一：向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 知识点二：向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．知识点三：平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）知识点四：分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。

）1=λ知识点五：平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos x x a b a bx θ⋅==+．数学 平面向量数量积的坐标表示同步达纲【同步达纲练习】 一、选择题.1.下列各向量中，与a =(3,2)垂直的向量是( )A. b =(3,-2)B. b =(2,3)C. b =(-4,6)D. b =(-3,2)2.若a =(2,3), b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B.513C. 565D. 65 3.已知向量a =(3,-2), b =(m+1,1-m)，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A.51 B.- 51C.-1D.1 4.已知向量｜a ｜=5,且a =(3,x-1),x ∈N,与向量a 垂直的单位向量是( )A.(54，-53) B.(-54，53) C.(- 53，54)或(53，-54) D.( 54，-53)或(-54，53)5.若a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β)，则( )A. a ⊥bB. a ∥bC.( a +b )⊥(a -b )D.( a +b )∥(a -b )6.已知a =(1, 3), b =(3+1, 3-1),则a 与b 的夹角为( )A.4πB.3π C.2π D.43π 7.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.已知a =(-2,-1), b =(λ,1).若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A.(-21，+∞) B.(2，+∞) C.(-21，+∞)D.(-∞,- 21)9.已知a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则在下列各结论中为a ·b =0的充要条件的是( ) ①a =0或b =0或a ⊥b ②a ⊥b ③x 1y 1+x 2y 2=0 ④x 1x 2+y 1y 2=0A.①③B.②③C.③④D.①④10.已知a 与b 的夹角的余弦为-6563，则a ，b 的坐标可以为( ) A.(4，3)，(-12，5)B.(3，4)，(5，12)C.(-3，4)，(5，-12)D.(-3，4)，(-5，12)二、填空题1.已知a =(4,3), b =(-1,2)，则a 与b 的夹角为 .2.已知a =(3,-5), b =(-4,-2),则a ·b = .3.顺次连接A(3，-1)，B(1，2)，C(-1，1)，D(3，-5)的四边形是 .4.以原点和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，则向量AB 为 .5.已知向量a =(1,2), b =(x,1),分别求出当a +2b 与2a -b 平行和垂直时实数x 的值 .6.已知a =(2,1),b =(-1,-1), c =a +k b ,d =a +b ,c 与d 的夹角是4，则实数k 的值 .三、解答题1.已知a =(1,-2), b =(4,3)求(1) a 2 (2) b 2 (3) a ·b (4)(3a +2b )·(a -3b ) (5) a 与b 的夹角 (6) a 在b 上的投影2.已知：点A(0，3)，B(6，3)，AD ⊥OB ，垂足为D ，求点D 的坐标.3.已知A(-2，3)，正方形OABC ，求点C 、点B 的坐标.【素质优化训练】1.已知a =(-1,0), b =(1,1), c =λa +μb (λ、μ∈R)，若c ⊥a ，且｜c ｜=2,试求λ、μ的值及向量c 的坐标.2.若a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β)，用｜k a +b ｜=3｜a -k b ｜(k ∈R ，k ≠0),试用k 表示a ·b .3.已知a =(-3,-2), b =(-4,k),若(5a -b )·(b -3a )=-55,求实数k 的值.4.求与向量a =(3,-1)和b =(1, 3)的夹角相等，且模为2的向量c 的坐标.5.已知矩形ABCD 的相对顶点A(0，-1)，C(2，5)，且顶点B 到两坐标轴的距离相等，求顶点D 的坐标.【生活实际运用】如图，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明(1)PA=EF (2)PA ⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜OP ｜=λ,则A(0，1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0) ∴PA =(-22λ,1-22λ), EF =(22λ-1,- 22λ)(1)｜PA ｜2=(-22λ)2+(1-22λ)2=λ2-2λ+1｜EF ｜2=(22 λ-1)2+(-22λ)2=λ2-2λ+1∴｜PA ｜2=｜EF ｜2,故PA=EF (2) PA ·EF =(-22λ)( 22λ-1)+(1-22λ)(- 22λ)=0 ∴PA ⊥EF ∴PA ⊥EF. 【知识探究学习】已知A(0，a),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值.解，设C(x,0)(x ＞0) 则CA =(-x,a), CB =(-x,b) 则CA ·CB =x 2+ab. cos ∠=22222bx ax ab x +++令t=x 2+ab 故cos ∠ACB=11)(1)(1222+•-+--t b a tb a ab当t 1=ab21即t=2ab 时，cos ∠ACB 最大值为b a ab +2.当C 的坐标为(ab ,0)时，∠ACB 最大值为arccos ba ab+2. 【同步达纲练习】一、1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C二、1.arccos 2552 2.-2 3.梯形 4.(-27，23)或(-23，-27) 5.21，27或-2 6. 23三、1.(1) a 2=5 (2) a 2=25 (3) a ·b =-2 (4)-121 (5)π-arccos 2552 (6)-522.D(2，1)3.C(3，2)或(-3，-2)，B(1，5)或(-5，1) 【素质优化训练】1.λ=μ=2,C(0,2)或λ=μ=-2,C(0,-2)2. a ·b =kk 412+ 3.k=-10或k=6 4. c =(213+,213-)5.D 的坐标为(2191-，2195-)，(2191+，2195+)，(2115-，2117+)，(2115+，2117-)。