三、剪力方程、弯矩方程： 剪力方程、
剪力方程 弯矩方程
q A L B
FS = FS ( x )
M = M ( x)
反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力 变化规律的图形则分别称为剪力 弯矩图。 图和弯矩图。
注意： 不能用一个函数表 注意 达的要分段，分段点为： 达的要分段，分段点为：集中力 作用点、集中力偶作用点、 作用点、集中力偶作用点、分布 力的起点、终点。 力的起点、终点。
CD :
Fs ( x2 ) = FAY − 2 = 2 − 2 = 0, M ( x2 ) = FAY x2 − 2( x2 − 1) = 2(kN .m),
Fs ( x3 ) = − FBY + 1× x3 = −2 + x3 , 2 x3 x3 M ( x3 ) = FBY x3 − 1× x3 × = 2 x3 − , 2 2
Fb (0 < x < a ) FS ( x ) = l Fb M (x) = x(0 ≤ x ≤ a ) l
CB段 段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA FS
Fb l
Fb FS1 ( x ) = l Fa B FS2 ( x ) = − l FB Fb M 1 (x ) = x l Fa (l − x ) M 2 ( x) = l
Me (↑) FA = l B Me (↓) FB = l F
l Me (l − x ) (a < x ≤ l ) CB段： M ( x ) = FA x − M e = − 段 l
3、作剪力图和弯矩图 、 a A C l Me Fs l
b
Me FS ( x ) = l
Me B M (x ) = x l
例题5 例题5-1
求图示简支梁E 截面的内力 解： 确定支反力 1.
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy
FBy ⋅ 3a + Fa = 2 F ⋅ a F 5F FBy = FAy = 3 3 5F F Fy = 0 2 F + FSE = FSE = − ∑ 3 3 a 5 F 3a 2F ⋅ + M E = ⋅ ∑ME = 0 2 3 2 3Fa ME = 2
第五章 梁的内力 §5-1 平面弯曲的概念及工程实例 §5 - 2 §5 - 3 静定梁的分类（三种基本形式） 静定梁的分类（三种基本形式） 剪力方程与弯矩方程
剪力、 §5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5 - 5 按叠加原理作弯矩图
构件 Component, Structural member 杆 bar 梁 beam
L 称为梁的跨长） （L称为梁的跨长） 称为梁的跨长
L
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN FAy M FN FS
3
∑F
∑F ∑F
x
=0
=0
⇒ FN = 0
y
⇒ FS = FAy − F1
FS
Mc
= 0 ⇒ M = FAy x − F1 ( x − a )
FBy
横截面的内力合力 M 弯矩，垂直于 弯矩， 横截面的内力系的 合力偶矩
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力 求支反力
Fb FA = l
Fa FB = l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出 ——需分两段列出
a
F C
l
b
A FA AC段 段 A FA
x x
Fb FA = l B Fa FB FB = l
M(x) FS(x)
Fa FS ( x ) = − FB = − (a < x < l ) M(x) l Fa M ( x ) = FB (l − x) = (l − x ) FS(x) l (a ≤ x ≤ l )
②写出内力方程
Fs ( x) = FAY = F
(0 < x < l )
F(x)
F
M ( x) = FAY x − M A = F ( x − L)
−FL
(0 < x ≤ l )
x ③根据方程画内力图
注意： 注意：弯矩图中正的弯矩值 轴的下方( 绘在x轴的下方(即弯矩值绘 在弯曲时梁的受拉侧) 在弯曲时梁的受拉侧)。
FS剪力，平行于 剪力，
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN FAy FS FN FS FBy M
截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为负 为负。 转向时，剪力为正；反之为负。
Fs(+) Fs(+) 左上右下为正；反之为负 左上右下为正；反之为负 为正 Fs(–) Fs(–)
Me (l − x ) M (x ) = − l
(0 ≤ x < a )
(a < x ≤ l )
x Meb l x M b>a时 M max 时 Mea l
* 集中力偶作用 点处剪力图无影 响，弯矩图有突 变，突变值的大 小等于集中力偶 的大小。
M eb = 发生在C截面右侧 l 发生在 截面右侧
A x1 FAY 1m
阳台的挑梁： 阳台的挑梁：
屋顶大梁上的孔为什么开在中间？ 屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两 边各开一个半圆孔可以吗？ 边各开一个半圆孔可以吗？
工程中的弯曲构件
梁为什么做成变截面的？ 梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理? 孔开在哪里最合理?
二、弯曲的概念： 弯曲的概念：
BC : Fs ( x3 ) = −2 + x3，(0＜x3 ≤ 2)
2 x3 ( 2kN M ( x3 ) = 2 x3 − 2 ，0 ≤ x3 ≤ 2)
3、根据方程画内力图
M(x)
2kN.m
2kN.m
x
剪力、 §5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 剪力、 一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
FBy
∑F = 0 ∑M = 0
y
FAy + FBy = 2 F
A
§5-2 剪力和弯矩及其方程
FSE O FAy ME FSE O FBy ME 分析右段得到： 分析右段得到： FBy
FBy = F 5F FAy = 3 3
∑F
∑M
y
=0
FSE + FBy = 0
o
=0
F FSE = −FBy = − 3 3a M E = FBy ⋅ + Fa 2 3Fa ME = 2
3、作剪力图和弯矩图
q l
A FS ql 2
ql B FS (x ) = 2 − qx
qlx qx 2 M (x ) = − 2 2
FS,max
ql = 2
ql2 8 M l/2
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
M max
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
ql 2 = 8
图示简支梁受集中荷载F作用 作用。 例 图示简支梁受集中荷载 作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。 和弯矩图。
BC :
A FAY Fs(x)
2kN C D
1kN/m B
AC : Fs ( x1 ) = 2, CD : Fs ( x2 ) = 0， M ( x2 ) = 2，
(0 < x1 < 1) (1＜x2＜2) (1 ≤ x2 ≤ 2)
M ( x1 ) = 2 x1， (0 ≤ x1 ≤ 1)
FBY 2kN x
F FBy = 3
5F FAy = 3
FAy ME FAy 2F
FBy 截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代 数和。 数和。
a 5 F 3a 3 − 2F ⋅ ME = = Fa ⋅ ME 3 2 2 2 左顺右逆为正 反之为负 为正； 左顺右逆为正；反之为负
计算任意截面的剪力和弯矩
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 受力特点 作用于杆件上的外力 于杆的轴线 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 变形特点 杆轴线由直线变为一条平面的曲线
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 主要产生弯曲变形的杆---
Fs ( x) = −qx, (0 ≤ x < l )
1 2 M ( x) = − qx , (0 ≤ x < l ) 2 F
s
x
(- )
ql 0.5ql 2
MA
FAY A
列出梁内力方程并画出内力图。 [例] 列出梁内力方程并画出内力图。
L
x
F B
解：①求支反力 ①
FAY = F ; M A = FL
x M(x)
例
图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。 图示简支梁受集度为 的满布荷载作用。试作梁的剪力图 的满布荷载作用 和弯矩图。 和弯矩图。
q B l
A FA x
FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
ql FA = FB = 2
ql FS ( x ) = FA − qx = − qx 2
x qlx qx 2 M ( x ) = FA x − qx × = − 2 2 2
法则
任意截面的剪力= ∑[ 一侧横向力代数值]
横向力： 横向力：载荷和约束反力 分布力和集中力 方向：左上右下为正， 方向：左上右下为正， 反之为负
任意截面的弯矩 = ∑一侧外力对截面形心之矩代数值
外力： 外力：载荷和约束反力 分布力、 分布力、集中力和集中力偶 方向：左顺右逆为正， 方向：左顺右逆为正， 反之为负