一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Y 0
Q( x ) q( x )dx Q( x ) dQ( x ) 0
dx x
q( x )dx dQ( x )
y
M(x) Q(x)
q(x) Q(x)+d Q(x)
A
dx
M(x)+d M(x)
dQx
dx
qx
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处 荷载集度的大小。
M1
Q1 x1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
14
2--2截面处截取的分离体如图（c）
Y qL Q2 q( x2 a ) 0
Q2 q(x2 a L)
mB(Fi) 0 ,
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3
3. 工程实例
4
4. 对称弯曲： 横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
P1
q
P2
M
纵向对称
面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
M
M
增函数 降函数 碗状
馒头状 折向与P反向
与 M1
x
m
反
M
M2
M1 M2 20m
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
q qa
A
解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。
a
a
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
Q(q ) P1 Psinq (0 q )
N(q ) P2 Pcosq (0 q )
36
弯曲内力习题课 剪力图和弯矩图
一、内力的直接求法： 求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，内力计算式如下，其
中Pi 、 Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向下的外力。
QA Pi Pi
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
5
二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行
必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
用下，Q图对称，M图反对称。
30
[例8] 作下列图示梁的内力图。
P
PL
Q
x
0
L
0.5P
L
0.5P
L
L P
P Q1
0.5P +
– P
x –
L
0.5P
PL
Q2
0.5P x
–
L
0.5P
0.5P
31
P
M
PL
PL
+
x
0
L
L P
P M1
0.5PL
+
x
0.5P
L
0.5P
L
L
0.5P
M2
PL
0.5PL
+
x
–
L
0.5P
3. 支座简化
6
3. 支座简化
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支
座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支
座，木桩下端的支座等。
XA
MA
7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
M — 集中力偶
侧），但须注明正、负号。
33
l P1 P1a
[例10] 试作图示刚架的内力图。
a
P1
P2
B
C
P2 A
+
+ Q图
P1 –
N图 P1a
M图 P1a+ P2 l 34
二、曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例11] 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。
解：建立极坐标，O为极点，OB
极轴，q表示截面m–m的位置。
R
P
A
q
B
O
x
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
Q(q ) P1 Psinq (0 q )
N(q ) P2 Pcosq (0 q )
35
R
P
A
q
B
A
O
x
2PR
O
+ Q图
M图
B N图
–
+
O
P
O
P
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
mC 0 , M YA x
m XA A
m YA
x
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
Q A
C
1. 弯矩：M
YA
Q
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于 截面的内力偶矩。
M
C
P B
RB
M P
RB
12
2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定:
①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
18
mA(Fi) 0 ,
Q(x)dx
1 2
q( x)(d x)2
M
(x)
[M
(x)
dM
(x)]
0
dM (x) dx
Q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x) Q(x)
q(x) Q(x)+d Q(x)
A
dx
M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
28
[例7]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。
P
A
q BM
Pa 2
qa2 2
x x
+ P
=
=+
A
B
M1
Pa 2
+
+
q
qa2
A
B M2
2
+
x
29
三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作
MA mA(Pi) mA(Pi)
37
剪力、弯矩与分布荷载间的关系： q(x)
dQx
dx
qx
dM (x) dx
Q(x)
dM 2(x) dx2
q(x)
二、 简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
38
三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引
与 M1
x
m
反
M
M2
M1 M2 40m
[例1] 绘制下列图示梁的弯矩图。
(1)
2P
M
a
a
P
Pa + x
=
=
2P
M1
–
x
2Pa
+
+
M2
2Pa
+
P
41 x
(2)
a
q
M
–
x
=
a q
qa2 M1
=+
M
qa2/4
+
q
B
RA
qa 4
; RB
7qa 4
x
7qa/4
x
25
[例9] 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。
Q(kN)
2 +
–
3
1m
2m
5kN
1
+
x
1m 1kN
M(kN·m)
1.25 1
q=2kN/m
+
x
_
1
26
§4–5 按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的
1
第四章 弯曲内 力
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §4–2 梁的剪力和弯矩 §4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 §4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 §4–5 按叠加原理作弯矩图 §4–6 平面刚架和曲杆的内力图
弯曲内力习题课
2
§4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
②悬臂梁 ③外伸梁
q(x) — 分布力