·36·第4章 空间力系一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．力在坐标轴上的投影是代数量，而在坐标面上的投影为矢量。

( √ )2．力对轴之矩是力使刚体绕轴转动效应的度量，它等于力在垂直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。

( √ )3．在平面问题中，力对点之矩为代数量；在空间问题中，力对点之矩也是代数量。

( × )4．合力对任一轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。

( √ )5．空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。

( √ ) 6．物体重力的合力所通过的点称为重心，物体几何形状的中心称为形心，重心与形心一定重合。

( × ) 7．计算一物体的重心，选择不同的坐标系，计算结果不同，因而说明物体的重心位置是变化的。

( × ) 8．物体的重心一定在物体上。

( × )二、填空题1．空间汇交力系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑xF、0=∑yF和0=∑zF。

空间力偶系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑xM、0=∑yM和0=∑zM。

而空间任意力系共有六个独立的平衡方程，一般可表示为0=∑xF、0=∑yF、0=∑zF、0)(=∑F x M、0)(=∑F y M和0)(=∑F zM 。

2．由n 个力组成的空间平衡力系，如果其中的(n -1)个力相交于A 点，那么另一个力也必定通过点A 。

3．作用在同一刚体上的两个空间力偶彼此等效的条件是力偶矩矢相等。

4．空间力对一点的矩是一个矢量，而空间力对某轴的矩是一个代数量。

5．空间力F 对任一点O 之矩)(F M O 可用矢量积来表示，即F r F M ⨯=)(O 。

写成解析表达式为k j i F M )()()()(x y z x y z O yF xF xF zF zF yF -+-+-=。

6．当空间力与轴相交时，力对该轴的矩等于零。

7．空间力系向一点简化，若主矩与简化中心的选择无关，则该力系的主矢等于零，该力系可合成为一个合力偶。

若空间任意力系向任一点简化，其主矩均等于零，则该力系是 平衡力系。

8．力螺旋是指由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。

力螺旋可分为左螺旋和右螺旋。

.·37·9．通常情况下物体的重心与形心是不相同的，只有对均质来说，重心才与形心重合。

10．工程中常见的测定物体重心的实验方法有称重法和悬挂法两种。

三、选择题1．图4.24中力F 在平面OABC 内，该力对x 、y 、z 轴的矩是( C )。

y OxzFϕθAB图4.24(A) 0)(=F x M ，0)(=F y M ，0)(=F z M (B) 0)(=F x M ，0)(=F y M ，0)(≠F z M (C) 0)(≠F x M ，0)(≠F y M ，0)(=F z M (D) 0)(≠F x M ，0)(≠F y M ，0)(≠F z M2．正方体上作用有力偶如图4.25(a)、(b)、(c)所示，下列答案中正确的是( C )。

(A) (a)图刚体处于平衡 (B) (b)图刚体处于平衡 (C) (c)图刚体处于平衡(D) 三种情况下刚体都不平衡EAFBCDGHEAFBCDGHEAFBCDG H(a)力偶分别作用在 (b)力偶分别作用在 (c)力偶分别作用在平面ABCD 和ADHE 平面ABCD 和EFGH 平面ABCD 和EFGH图4.253．如图4.26所示，力系由作用于点A 的力A F 及作用于点B 的力B F 组成。

力系向点O 简化，判断下述说法哪一个是正确的。

( A )(A) 力系简化的最终结果是力螺旋 (B) 力系简化的最终结果是一合力(C) 力系简化的最终结果是一个力偶(D) 力系平衡4．空间任意力系向两个不同的点简化，试问下述哪种情况是有可能的( C )。

(A) 主矢相等，主矩相等 (B) 主矢不相等，主矩相等(C) 主矢相等，主矩不相等(D) 主矢、主矩都不相等5．图4.27中正方体受不同力系作用，图中各力大小相等，问哪种状态下，正方体处于平衡状态( C )。

图4.26A F A BCOxyz B F·38·6．如图4.28所示一平衡的空间平行力系，各力作用线与z 轴平行，下列方程组哪些可以作为该力系的平衡方程组( C )。

(A)0=∑xF ，0=∑yF ，0)(=∑F xM (B) 0=∑xF ，0=∑yF ，0)(=∑F zM(C) 0=∑zF，0)(=∑F x M，0)(=∑F y M(D)0)(=∑F x M，0)(=∑F y M，0)(=∑F zM(a)(b)(c)(d)四、计算题4-1 一重物由OA 、OB 两杆及绳OC 支持，两杆分别垂直于墙面，由绳OC 维持在水平面内，如图4.29所示。

已知10kN W =，30cm OA =，40cm OB =，不计杆重。

求绳的拉力和两杆所受的力。

解：选节点O 为研究对象，受力分析如图所示。

建立如图所示的坐标系，列平衡方程，有0=∑x F 05330cos o =⨯--OC OA F F 图4.27DWAB C O30︒ OA FOB FOC FDWABC O30︒图4.29xOyz 图4.28xO yz1F2Fi Fn F.·39·0=∑y F 05430cos o =⨯--OC OB F F 0=∑zF030sin o =-W F OC联立求解，可得kN 4.10-=OA F ，kN 9.13-=OB F ，kN 202==W F OC4-2 支柱AB 高4m h =，顶端B 上作用三个力1P 、2P 、3P ，大小均为2kN ，方向如 图4.30所示。

试写出该力系对三个坐标轴之矩。

解：)()()(321P P P x x x x M M M M ++=h P h P h P ⨯-⨯-⨯=o o 3o o 2130cos 60cos 30sin 60cos430cos 60cos 2430sin 60cos 242oooo ⨯-⨯-⨯= m kN 54.2⋅=)()()(321P P P y y y y M M M M ++=h P h P ⨯-⨯=oo 3o o 230sin 60cos 30cos 60cos430sin 60cos 2430cos 60cos 2o o o o ⨯-⨯= m kN 46.1⋅=)()()(321P P P z z z z M M M M ++=0=4-3 如图4.31所示，已知力20N P =，求P 对z 轴的矩。

解：015.045cos 60cos )05.01.0(45sin 60cos )(o o o o =⨯-+⨯=P P M z P4-4 如图4.32所示，轴AB 与铅直线成α角，悬臂CD 垂直地固定在轴AB 上，其长度为a 并与铅直面zAB 成θ角，如在点D 作用一铅直向下的力P ，求此力对于轴AB 的矩。

解：θsin )(Pa M y =Pαθαπsin sin )2cos()()(Pa M M y AB =-=P PP AO 10cm15cm5cmxyz45︒60︒DA αBCzPθxy图 4.31 图 4.324-5 一重W 、边长为a 的正方形板，在A 、B 、C 三点用三根铅垂的绳吊起来，使板保持水平，B 、C 为两边的中点如图4.33所示。

求绳的拉力。

C AhDB1P2P3P xyz30︒30︒60︒60︒°图4.30ABCxyzABCWA FB FC F·40·解：选正方形板为研究对象，受力分析如图所示。

建立如图所示坐标系，列平衡方程，有 0=∑z F 0=-++W F F F C B A0)(=∑F x M 022=⨯-⨯+⨯aW a F a F B C 0)(=∑F y M022=⨯+⨯-⨯-aW a F a F B C 联立求解，可得3W F F F C B A === 4-6 如图4.34所示的矩形薄板ABDC ，重量不计，用球铰链A 和蝶铰链B 固定在墙上，另用细绳CE 维持水平位置，连线BE 正好铅垂，板在点D 受到一个平行于铅直轴的力G =500N 。

已知角BCD =30︒，角BCE =30︒。

求细绳拉力和铰链反力。

解：选正方形板为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有0=∑xF 030sin 30cos oo =-+s F F F CBx Ax 0=∑y F 030cos 30cos oo =+CAyF F 0=∑z F 030sin o=-++G F F F CBz Az 0)(=∑F x M 0=⨯-⨯AB G AB F Bz0)(=∑F yM 030sin o=⨯-⨯AC G AC F C0)(=∑F z M 030cos 30cos oo =⨯-⨯AB F AC F BxC其中：o 30tan AB AC =，联立求解，可得图4.33x DCG30︒AB30︒yzE图4.34xDCG30︒AB30︒yzAx FBx FBz FAy FAz F C F.·41·kN 1=C F ，0=Ax F ，N 750-=Ay F ，N 500-=Az F ，N 433=Bx F ，N 500=Bz F4-7 如图4.35所示，六杆支撑一水平板，尺寸如图所示。

设板和杆自重不计，求在板角A 处受铅直力F 作用时各杆的内力。

解：选水平板为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有0=∑xF 015.015.015.015.022222224=+⨯+++⨯-F0=∑y F 05.05.05.015.05.05.015.015.05.05.05.022522222224222=+⨯-+⨯+++⨯-+⨯F F F0=∑z F 05.05.05.05.015.05.05.05.05.06225222432221=-++⨯+++⨯+++⨯+F F F F F F F0)(=∑F x M 05.05.05.05.05.05.05.015.05.05.0622522243=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯F F F F0)(=∑F y M 015.015.05.0115.05.05.01222432221=⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯F F F F0)(=∑F z M 015.05.05.0222=⨯+⨯F联立求解，可得F F F ==61，0542===F F F ，F F -=34-8 无重曲杆ABCD 有两个直角，且平面ABC 与平面BCD 垂直。

杆的D 端为球铰链支座，另一端受轴承支持，如图4.36所示。

在曲杆的AB ，BC 和CD 上作用三个力偶，力偶所在平面分别垂直于AB ，BC ，CD 三线段。