[物理学10章习题解答]10-3两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。

由于电荷的斥力作用，使小球处于图10-9所示的位置。

如果θ角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为.解小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力m g、绳子的张力t和库仑力f。

于是可以列出下面的方程式,(1)图10-9,(2)(3)因为θ角很小，所以,.利用这个近似关系可以得到,(4). (5)将式(5)代入式(4)，得,由上式可以解得.得证。

10-4在上题中，如果l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小球所带的电量q为多大？解在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得.10-5氢原子由一个质子和一个电子组成。

根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0 = 5.29⨯10-11m。

质子的质量m = 1.67⨯10-27kg，电子的质量m = 9.11⨯10-31kg，它们的电量为±e =1.60⨯10-19c。

(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。

解(1)电子与质子之间的库仑力为.(2)电子与质子之间的万有引力为.所以.(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以,从上式解出电子绕核运动的速率，为.10-6 边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。

(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为.(2) f的方向如何？解立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。

对于任一顶角上的电荷，例如图10-10b 角上的q b，它所受到的力、和大小也是相等的，即.首先让我们来计算的大小。

由图10-10可见，、和对的作用力不产生x方向的分量；对的作用力f1的大小为,f1的方向与x轴的夹角为45︒。

对的作用力f2的大小为,f2的方向与x轴的夹角为0︒。

对的作用力f3的大小为,f3的方向与x轴的夹角为45︒。

对的作用力f4的大小为,f4的方向与x轴的夹角为α，。

于是.所受合力的大小为.(2) f的方向：f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为α、β和γ，并且,.10-7计算一个直径为1.56 cm的铜球所包含的正电荷电量。

解根据铜的密度可以算的铜球的质量.铜球的摩尔数为.该铜球所包含的原子个数为.每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为1.602⨯10-19 c，所以铜球所带的正电荷为.10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。

如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e，我们就把一个带正电的试探电荷q0 引入该点，测定f/q0。

问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e？解这样测得的f / q0是小于该点的电场强度e的。

因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动，q0受力f减小了。

10-9根据点电荷的电场强度公式,当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。

对此应作何解释？解当r→ 0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。

这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。

10-10离点电荷50 cm处的电场强度的大小为2.0 n⋅c-1 。

求此点电荷的电量。

解由于,所以有.10-11有两个点电荷，电量分别为5.0⨯10-7c和2.8⨯10-8c，相距15 cm。

求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。

解 已知= 5.0⨯10-7c 、= 2.8⨯10-8c ，它们相距r = 15 cm ，如图10-11所示。

(1)在点b 产生的电场强度的大小为,方向沿从a 到b 的延长线方向。

在点a 产生的电场强度的大小为,方向沿从b 到a 的延长线方向。

(2)对的作用力的大小为,方向沿从b 到a 的延长线方向。

对的作用力的大小为.方向沿从a 到b 的延长线方向。

10-12 求由相距l 的 ±q 电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)轴的延长线上距轴心为r 处，并且r >>l ；(2)轴的中垂面上距轴心为r 处，并且r >>l 。

解(1)在轴的延长线上任取一点p ，如图10-12所示，该点距轴心的距离为r 。

p 点的电场强度为.在r >> l 的条件下，上式可以简化为图10-11图10-12.(1)令,(2)这就是电偶极子的电矩。

这样，点p 的电场强度可以表示为.(3)(2)在轴的中垂面上任取一点q ，如图10-13所示，该点距轴心的距离为r 。

q 点的电场强度为也引入电偶极子电矩，将点q 的电场强度的大小和方向同时表示出来：.10-13 有一均匀带电的细棒，长度为l ，所带总电量为q 。

求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为a 处的电场强度，并且a >>l ； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a 处的电场强度，并且a >>l 。

解(1)以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。

在x 轴上到o 点距离为a 处取一点p ，在x 处取棒元d x ，它所带电荷元为λd x ，该棒元到点p 的距离为a - x ，它在p 点产生的电场强度为.整个带电细棒在p 点产生的电场强度为图10-13图10-14,方向沿x 轴方向。

(2)坐标系如图10-15所示。

在细棒中垂线(即y 轴)上到o 点距离为a 处取一点p ，由于对称性，整个细棒在p 点产生的电场强度只具有y 分量e y 。

所以只需计算e y 就够了。

仍然在x 处取棒元d x ，它所带电荷元为λd x ，它在p 点产生电场强度的y 分量为.整个带电细棒在p 点产生的电场强度为,方向沿x 轴方向。

10-14 一个半径为r 的圆环均匀带电，线电荷密度为λ。

求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a 的一点的电场强度。

解以环心为坐标原点，建立如图10-16所示的坐标系。

在x 轴上取一点p ，p 点到盘心的距离为a 。

在环上取元段d l ，元段所带电量为d q = λd l ，在p 点产生的电场强度的大小为.由于对称性，整个环在p 点产生的电场强度只具有x 分量e x 。

所以只需计算e x 就够了。

所以.10-15 一个半径为r 的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。

求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a 的一点的电场强度。

图10-15图10-16解 取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。

在x 轴上取一点p ，p 点到盘心的距离为a 。

为计算整个圆盘在p 点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为d r 的圆环，该圆环在p 点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即,的方向沿x 轴方向。

整个圆盘在p 点产生的电场强度，可对上式积分求得.10-16 一个半径为R 的半球面均匀带电，面电荷密度为σ。

求球心的电场强度。

解 以球心o 为坐标原点，建立如图10-18所示的坐标系。

在球面上取宽度为d l 的圆环，圆环的半径为r 。

显然,圆环所带的电量为.根据题10-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为,方向沿x 轴的反方向。

由图中可见，,, 将这些关系代入上式，得.所以,e 的方向沿x 轴的反方向。

10-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面s 内的电荷，其量用q 表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e '，另一类是处于高斯面s 外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e "，显然高斯面上任一点的电场强度e = e '+ e "。

试证明：(1)；图10-17图10-18(2) 。

解高斯面的电通量可以表示为.显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。

高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以ε0，而与s以外的电荷无关。

”可见，高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。

这句话在数学上应表示为. (1)所以，关系式的成立是高斯定理的直接结果。

因为,于是可以把高斯定理写为.将式(1)代入上式，即得. (2)10-20 一个半径为r的球面均匀带电，面电荷密度为σ。

求球面内、外任意一点的电场强度。

解由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。

在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电球面的同心球面s1，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得图10-19,由此解得球面内部的电场强度为.在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面s2，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得,即.由此解得,e2的方向沿径向向外。

10-21 一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为 。

求圆柱体内、外任意一点的电场强度。

解显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。

在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面s1(见图10-20)作为高斯面并运用高斯定理图10-20.上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,于是得,方向沿径向向外。

用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2，如图10-20所示。

在s2上运用高斯定理，得.根据相同的情况，上面的积分可以化为,由上式求得,方向沿径向向外。

10-22两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为±σ，两板相距d。

当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。

(1)求两板之间的电场强度；(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.5⨯10-8 s的时间撞击在对面的正电板上，若d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的速率。

解(1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。

作底面积为δs的柱状高斯面，使下底面处于两板间图10-21隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图10-21所示。

在此高斯面上运用高斯定理，得,由此解得两板间隙中的电场强度为.(2)根据题意可以列出电子的运动学方程,.两式联立可以解得.10-24 一个半径为r的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。

解先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。

在球内：，根据高斯定理，可列出下式,解得,方向沿径向向外。