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常微分方程计算题word

常微分方程习题集(3)(三)、计算题1. 解方程:0)(22=-++xydy dx x y x ;2. 解方程:024=++xy xy dxdy; 3. 解方程:0)(22=+++xydy dx x y x ;4. 解方程:y x '=y y x +-22;5. 解方程:;6. 解方程: xy x y y x tan =-'; 7. 解方程:;8. 解方程:yy x e y '=';9. 解方程:xyx y y x dx dy 3225423++-=;10. 解方程:yx y y xy dx dy 22++-=;11. 解方程:0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ; 12. 解方程:243y x y x +=';13. 解方程:0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ; 14. 解方程:xx x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ; 15. 解方程:3432842y xy x yy x x dx dy ++++-= ;16. 解方程:02=+'-'y y x y ;17. 解方程: ;18. 解方程:04)4(=+x x ;19. 解方程:y e y y '-'=)1(; 20. 解方程:122='+y x ;21. 解方程: ; 22. 解方程:6244x y y x =+' ;23. 解方程:033=-'+''-'''y y y y ; 24. 解方程:;25. 解方程:0212122=++'xy y ; 26. 解方程:04)3()5(=-x x ;27. 解方程:0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y ;28. 解方程:0485=-'+''-'''x x x x ; 29. 解方程:02)3()5()7(=+-x x x ; 30. 求方程2y x dxdy+=经过(0,0)的第三次近似解.(三)、计算题参考答案1、0)(22=-++xydy dx x y x 解:原方程可化为:yx y y x dx dy 1++= 令ux y =整理得:dx xxudu )11(2+=, 积分:C x x u +-=1ln 212,将ux y =代入,原方程的通解为: x Cx x x y 22ln 2222-+=,,0=x 是原方程的常数解.2、024=++xy xy dxdy解:0=y 是方程的特解,0≠y 时,令3-=y z 得x xz dxdz36=-, 解之得2123-=x Ce z ,故原方程的通解为:21233-=-x Ce y .3、0)(22=+++xydy dx x y x解:因为y x Ny y M =∂∂=∂∂,2 ,xN x Ny M 1=∂∂-∂∂, 所以x =μ为积分因子,两边乘以x 得:02223=+++ydy x dx x xdx y dx x ,所以 0)312141(3224=++x x y x d , 故原方程的通解为:C y x x x =++2234643.4、y x '=y y x +-22 解:原方程可化为:x yxy y +-='221,令ux y =整理得:xdxu du =-21, 积分得:Cx u ln arcsin =,将ux y =代入,原方程的通解为:)sin(ln Cx x y =.5. 解方程:解一:令ux y =,则xdu udx dy +=,原方程可化为:xdxu du =+1, 积分得:cx u =+1.将ux y =代回得原方程的通解为:x cx y -=2.解二:因为1,2-=∂∂=∂∂x Ny M ,xN x Ny M 3-=∂∂-∂∂, 所以3-=x μ为积分因子,两边乘以3-x 得:02232=-+---dy x dx yx dx x ,所以 0)(21=+---yx x d , 故原方程的通解为:x Cx y -=2.6. xy x y y x tan =-' 解:原方程可化为:xy xyy +='tan ,令ux y =整理得:xdxu du =tan , 积分得:Cx u =sin ,将ux y =代入,原方程的通解为:.7.解:令1-=y z ,原方程可化为:x x z dxdzcos sin -=-, 由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e z dxx p dx x p 得: ⎰⎰-+⎰=---))cos (sin (11dx e x x C e z dxdx)cos sin (⎰⎰---+=xdx e xdx e C e x x xx Ce x +-=sin , 原方程的通解为:8. yy x e y '='解:原方程可化为:1)(ln -''=y y x y ,令p y ='得1)(ln -=p xp y ,两边对x 求导,并以p 代替y ',整理得0)ln )(ln 1(=--p p dxdpxp . 从0ln 1=-p 得e p =,代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的一个特解:ex y =,从0ln =-p p dxdpx解的Cx e p =,代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的通解: Cx e Cy 1=.9. xyx y y x dx dy 3225423++-=解:原方程可化为:0)32()25(423=+++dy xy x dx y y x因为y x xNy x y M 38,4533+=∂∂+=∂∂ ,xy Mx Ny x Ny M 1=-∂∂-∂∂,所以xy =μ为积分因子,两边乘以xy 得:03225225324=+++dy y x ydy x dx xy dx y x ,从而有:0)(3225=+y x y x d ,故原方程的通解为:C y x y x =+3225 .10. yx y y xy dx dy 22++-=解:原方程可化为:0)2()(2=++--dy y x dx y xy y因为1,21=∂∂--=∂∂x Ny x y M ,1-=∂∂-∂∂Nx Ny M , 所以x e -=μ为积分因子,两边乘以x e -得:022=++-------dy ye dy xe dx e y dx xye ydx e x x x x x ,所以:0)()(2=+++----dy xe xde dx e y e y d x x x x ,0)(2=+--x x xye e y d ,故原方程的通解为:x Ce xy y =+2.11. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x解:因为0,1=∂∂+=∂∂x N e y M y ,1=∂∂-∂∂NxNy M , 所以x e =μ为积分因子,两边乘以x e 得:0=+++-dy e e dy e dx e e dx ydx e x y x x y x ,所以:0)(=++-y x x y x de e de e dx ye d ,0)(=+-+y x x e x ye d ,故原方程的通解为:C e x e y y x x =+-+.12. 243y x y x +='解:由分析可知 2x y =是该方程的一个解, 作变换z x y +=2,原方程可化为322xz z x dx dz +=,解之得; )ln (21x C x z -=--, 故原方程的通解为:)ln 11(2xC x y -+=. 13. 0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y解:因为x y x N x y y M 2,32-=∂∂-=∂∂ ,xN xNy M 1=∂∂-∂∂, 所以x =μ为积分因子,两边乘以x 得:033222=-++-dy x ydy x xdx ydx x dx xy ,所以:0)()21()21(3222=-+y x d x d y x d ,0)2121(2322=+-x y x y x d , 故原方程的通解为:C x y x y x =+-23222121.14.xx x y xy x x dx dy cos sin cos sin +-= 解:原方程可化为:0)cos sin ()cos sin (=+++-dy x x x y dx x y x x因为x x x x y x Nx y M sin cos cos ,cos -+=∂∂=∂∂,1-=-∂∂-∂∂Mx Ny M , 所以y e -=μ为积分因子,两边乘以y e -得:0)cos sin ()cos sin (=+++---dy x x x y e dx x y x x e y y ,取000==y x 有:dx x x x y e y x U xy ⎰-=-0)sin cos (),(,)sin cos sin (x x x x y e y -+=-,故原方程的通解为:C x x x x y e y =-+-)sin cos sin (.15. 3432842yxy x y y x x dx dy ++++-= 解:原方程可化为:0)84()2(3432=+++++dy y xy x dx y y x x因为4341,1y xNx y M +=∂∂+=∂∂ ,xy Mx Ny x Ny M +=-∂∂-∂∂21,所以xy +=2μ为积分因子,两边乘以xy +2得:0)84)(2()2)(2(3432=+++++++dy y xy x xy dx y y x x xy , 取000==y x 有:⎰⎰+++++=yxdy y dx y xy y x y x x y x U 0302243216)244(),(,422254342215134y xy y x y x y x x +++++=, 故原方程的通解为:C y xy y x y x y x x =+++++422254342215134. 16. 02=+'-'y y x y 解:原方程可化为:2y y x y '-'=,令p y ='得2p xp y -=,两边对x 求导,并以p 代替y ',整理得0)2(=-dxdpp x . 从02=-p x 得x p 21=,代入2p xp y -=可得原方程的一个特解:241x y =,从0=dxdp解的C p =,代如2p xp y -=可得原方程的通解: 2C Cx y -=.17.解:原方程可化为:3278y y '=, 令p y ='得3278p y =, 两边对x 求导,并以p 代替y ',整理得01982=-dxdpp . 解之得:)(23C x p +=,代如3278p y =可得原方程的通解: 3)(C x y +=.18. 04)4(=+x x . 解:其特征方程为:044=+λ,特征根为: .1.1,1,1i i i i --+--+ 所以其实基本解组为:,cos t e t ,sin t e t ,cos t e t -,sin t e t - 原方程的通解为:21cos C t e C x t +=3sin C t e t +4cos C t e t +-t e t sin -.19. y e y y '-'=)1( 解: 令p y ='得p e p y )1(-=,两边对x 求导,并以p 代替y ',整理得0)1(=-dxdpe p p.可得:0=p ,与 01=-dxdpe p 解之得:0=p ,与 c x p +=ln代入p e p y )1(-=得: 1-=y 为常数解,与通解:)1(ln -++=c x c x y . 20. 122='+y x解: 令t y cos =',则t x sin =, 利用dx y dy '=得: tdt dy 2cos =, 积分得: C t t y ++=2sin 4121, 将x t arcsin =代入得原方程的通解:C x x x y +-+=)1(arcsin 212.21. 解: 原方程可化为:0))((221=+-'--'x x ye y y ye y y ,由02=--'x ye y y 得:22x e x Ce y +=, 由02=+-'x ye y y 得:22x e x Cey -=, 故原方程的通解为:22x ex Cey ±=.22. 6244x y y x =+'解:由分析可知 3x y =是该方程的一个解, 作变换z x y +=3,原方程可化为422xz z x dx dz --=,解之得; 35521515)51(xCx x C x z -=-=-, 故原方程的通解为:)1551(53-+=Cx x y .23. 033=-'+''-'''y y y y 解:其特征方程为:0)1(133323=-=-+-λλλλ,特征根1=λ为3重根, 所以其基本解组为: x x x x e x e x xe e 32,,,, 原方程的通解为: x x x x e x C e x C xe C e C y 342321+++=.24.解: 显然0=y 是方程的解,当0≠y 时,两边乘以21y原方程可化为022='-'-''y yy y y , 从而有: 0)(=-'y yy dx d ,1C y yy =-',解之的:11211-=xC e C C C y , 为原方程的通解.25. 0212122=++'xy y 解:由分析可知 1-=x y 是该方程的一个解, 作变换z x y +=-1,原方程可化为21z z xdx dz --=, 解之得; )ln (1x C x z +=-, 故原方程的通解为:)ln (11x C x x y ++=-.26. 04)3()5(=-x x解:其特征方程为:0)2)(2(4335=+-=-λλλλλ,特征根0=λ为3重根,2,2-==λλ. 所以其基本解组为: 2,1t t ,t t e e 22,-, 原方程的通解为: t t e C e C t C t C C y 25242321-++++=.27. 0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y解:因为xy x N xy y M 41,62+=∂∂+=∂∂ ,xN xNy M 1=∂∂-∂∂, 所以x =μ为积分因子,两边乘以x 得:02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ,所以:0)()(232=+y x d y x d ,故原方程的通解为:C y x y x =+232.28. 0485=-'+''-'''x x x x解:其特征方程为:0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ,特征根为2=λ为2重根,1=λ. 所以其基本解组为: t t t e te e ,,22, 原方程的通解为: t t t e C te C e C x 32221++=.29. 02)3()5()7(=+-x x x 解:其特征方程为:0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ,特征根为:0=λ为3重根,1=λ,为2重根,1-=λ为2重根. 所以其基本解组为: 2,1t t ,t t t t te e te e --,,,,原方程的通解为:t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321.30. 求方程2y x dxdy+=经过(0,0)的第三次近似解. 解:取0)(0=x ϕ,200200121)()(x xdx dx y x y x xx==++=⎰⎰ϕ, dx x x y x x ])([)(02102⎰++=ϕϕ 5222020121])21([x x dx x x x +=+=⎰, dx x x x y x x ])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++.(注:本资料素材和资料部分来自网络,仅供参考。

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