当前位置:文档之家› 常微分方程期末试题B答案

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期
常微分方程课程试卷(B)
一、填空题(每空2 分,共16分)。

1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件.
2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二
维空间上的一条曲线.
3.线性齐次微分方程组Y
A
Y
)
(
d
d
x
x
=的一个基本解组的个数不能多于n个,其中R

x,n
R
Y∈.
4.二阶线性齐次微分方程的两个解)
(
1
x

=,)
(
2
x

=成为其基本解组的充要条件是线性无关.
5.方程2
sin()
y xy y
''
=+的通解是
6.变量可分离方程()()()()0=
+dy
y
q
x
p
dx
y
N
x
M的积分因子是()()
x
P
y
N
1
7.性齐次微分方程组的解组)
(
,
),
(
),
(
2
1
x
x
x
n
Y
Y
Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0
)
(≠
x
W.
8.方程540
y y y
'''
++=的基本解组是x
x e
e4
,-
-
二、选择题(每小题3 分,共15分)。

9.两个不同的线性齐次微分方程组( D )的基本解组.
(A) 一定有相同(B) 可能有相同
(C) 一定有相似(D) 没有相同
10.方程组



⎪⎪


+
=
+
=
y
x
t
y
y
x
t
x
4
3
d
d
2
d
d
的奇点)0,0(的类型是(D ).
(A)稳定焦点(B)不稳定焦点(C)鞍点(D)不稳定结点11.方程x(y2-1)d x+y(x2-1)d y=0的所有常数解是( C ).
(A) 1±
=
x(B)1±
=
y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x
12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).
(A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间
(C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间
13.方程4d d +-=x y x y ( A )奇解.
(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有
三、计算题(每小题8分,共48分)。

14.求方程
x
y x y x y tan d d +=的通解 解:令x
y u =,则u x u y '+=', u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时,等号两边积分 1d tan d C x x u u +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin
15.求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解:积分因子21)(x
x =μ, 则 0d 1d 122=+--y x x x
y x 为全微分方程.取10=x ,00=y ,于是通积分为
1012
2d d 1C y x x y x y x
=+--⎰⎰ 即 C x
x x y =++1 16.求方程2221)(x y x y y +
'-'=的通解 解:令 p y =',得到2
2
2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导,
整理得 ()012=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--dx dp x p ,则 取 02=-x p ,得 2x p =,代入(*) 得解 4
2
x y = 取 01=-dx
dp ,得C x p +=,代入(*)得原方程得通解为 22
2
Cx Cx x y ++= 17.求方程53x y y e '''-=的通解
解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ,
特征根为 01=λ,32=λ
故齐次方程的通解为 x C C y 321e +=
因为5=α不是特征根。

所以,设非齐次方程的特解为
x A x y 51e )(=
代入原方程,x x x A A 555e e 15e 25=-
即 10
1=
A , 故原方程的通解为 x x C C y 5321e 101e ++= 18.求方程x y y 2sin 34=+''的通解
解:原方程对应的齐次方程的特征方程为 042
=+λ
特征根为 i 22,1±=λ,故齐次通解是
x C x C y 2sin 2cos 21+=
由于 i i 2±=±βα是特征根,故原方程有形如 )2sin 2cos (~
x B x A x y +=
的特解.代入原方程,确定出 43-
=A ,0=B 所求通解为 x x C x C y 2cos 4
32sin 2cos 21-+= 19.求方程组35,53dY AY A dx ⎛⎫== ⎪-⎝⎭
的实基本解组 解:方程组的特征多项式为 3
553
--λλ,其特征根是i 532,1±=λ,那么 属于1λ的特征向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=11i α, 属于2λ的特征向量⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=i 12α。

则方程的基本解组为()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=Φ-+-+x i x i x i x
i ie e e ie x 535353531, 其实基本解组为()()0111-ΦΦx 。

而()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=Φ--i i i i 1121110111 因此所求实基本解组为 ()=Φx ()()0111-ΦΦx
()()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-+x e x e x e x e i i ie e e ie t t t t x i x i x i x i 5cos 5sin 5sin 5cos 1121333353535353 四、应用题(本小题 11 分,共11分)。

20.(1)求函数()at f t e =的拉普拉斯变换
(2)求初值问题3322(0)0,(0)0
t
x x x e x x '''⎧-+=⎨'==⎩的解
解:(1)[]()()⎪⎩⎪⎨⎧≤∞>-=∞+--===----∞
+-⎰⎰a
s a s a s e a s dt e dt e e e t a s t a s at st at ,,1010 (2)设()[]()s X t x = ,()t x 是已知初值问题的解。

对已知方程两端同时使用拉普
拉斯变换,可分别得到
[][][][]()[]()()()()();
212
323232322--=+-=+-=+'-''=+'-''s s s X s s s X s s s X x x x x x x [][]322233-==s e e t
t 故有 ()()()()
3212---=s s s s X 使用部分分式法,可得 ()3
12211-+---=s s s s X 由(1)可知,[][][]
31;21;1132-=-=-=s e s e s e t t t 故所求的初值解为 ()t t t e e e t x 322+-= 。

五、证明题(本小题10分,共10分)。

21. 设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续.试证明方程
y x x
y sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞.
证明 :由已知条件可知,该方程在整个xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理
条件,又存在常数解 ,2,1,0,±±==k k y π.
对平面内任一点),(00y x ,若πk y =0,则过该点的解是πk y =,显然是在
),(∞+-∞上有定义.
若πk y ≠0,则))1(,(0ππ+∈k k y ,记过该点的解为)(x y y =,那么一方面解
)(x y y =可以向平面的无穷远无限延展;另一方面在条形区域
k y k x y x (,),({<<π+∞<<∞- })1π+内)(x y 不能上、下穿过解π
)1(+=k y 和πk y =,否则与解的惟一性矛盾.因此解的存在区间必为),(∞+-∞.。

相关主题