第七章 参数估计注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、解 由θθθμθ2),()(01===⎰d x xf X E ，204103)(2221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^=θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，nnX D D 5204)2()(22^θθθ=⋅==。

3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：3262121^=-=-=X θ。

建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L令0148))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θθθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计：()1012122μθλθλθλ=⋅+⋅+⋅--=--，()()()()2222222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--,11A =,234B =, 故()()()()222ˆˆ221,3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ222121.4θλθλθθλλθλθλ⎧--=⎪⎨--++-++--=⎪⎩解得1ˆ,43ˆ.8λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求矩估计。

极大似然估计：(){}()33214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，()(),330,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ∂⎧=-=⎪⎪∂--⎨∂⎪=-=⎪∂--⎩解得3ˆ,81ˆ.4θλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求。

5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p的矩估计量为^p ==建立关于p 的似然函数：3210)1()2)1(3()()2)1(()(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =∂∂p p L ，求得到θ的极大似然估计值：nn n n p 22210^++= 6、解：(1)()1112EX x x dx θθθθ+=+=+⎰， 由ˆ1ˆ2X θθ+=+得21ˆ1X X θ-=-为θ的矩估计量。

()()()111,01,,,0,nn ni i i i x x L f x θθθλθ==⎧+∏<<⎪=∏=⎨⎪⎩其他。

()()()1ln 1ln ,01,,ln ,0,n i i n x x l L θθθλθλ=⎧++<<⎪==⎨⎪⎩∑其他。

令()1ln 01ni i l nx θθθ=∂=+=∂+∑得1ˆ1ln nii nxθ==--∑，所以θ的极大似然估计为11ln nii nx=--∑。

(2)()120,EX xf x dx e θθ==⎰，令ˆ2e X θ=得ˆ2ln X θ=为θ的矩估计量。

()()()()21ln 21211,,2ni i x ni n n i ii L f x ex θθλθπθ=-==∑=∏=∏，()()()()211ln ,ln ,ln 2ln 22ni ni i i x nl L x θλθλπθθ====---∑∑令()()212ln 022ni i x l n θθθθ=∂=-+=∂∑得()211ˆln n i i x n θ==∑为θ的极大似然估计。

(3)()22,1EX xf x dx θθθ==+⎰， 令ˆ2ˆ1X θθ=+得ˆ2X X θ=-为θ的矩估计量。

()()1112,02,,0,n n n ni i i i x x L f x θθθθθ--==⎧∏<<⎪=∏=⎨⎪⎩其他。

()()()1ln ln 21ln ,02,ln 0,n i i n n x x l L θθθθθ=⎧-+-<<⎪==⎨⎪⎩∑其他。

令()1ln 2ln 0ni i l nn x θθθ=∂=-+=∂∑得，1ˆln 2ln nii n n x θ==-∑为θ的极大似然估计。

(4)()100100,2EX xf x dx θθθ+==⎰，令ˆ1002X θ+=得ˆ2100X θ=-为θ的矩估计量。

()()()11,100ni ni L f x θθθ==∏=-，因0100θ<<，要使()L θ最大，则θ应取最大。

又θ不能大于{}1min ,,n x x ，故θ的极大似然估计为{}1ˆmin ,,n X X θ=(5)(),0EX xf x dx θ∞-∞==⎰，故0X =。

22var 2X EX θ==，由()2221111ˆ2n n i i i i X X X n n θ===-=∑∑和0θ>得ˆθ=为θ的矩估计量。

()()111,,,20,nii X ni n n i ex L f x θθθθ=-=⎧∑⎪⎪-∞<<∞=∏=⎨⎪⎪⎩其他。

则()()11ln 2ln ,,ln 0,n i i n n x x l L θθθθ=⎧----∞<<∞⎪==⎨⎪⎩∑其他。

令()120nii x l n θθθθ=∂=-+=∂∑得11ˆn i i x n θ==∑为θ的极大似然估计。

7、解 （1）记}4{<=X P p ，由题意有}4{}4{}4{-≤-<=<=X P X P X P p 根据极大似然估计的不变性可得概率}4{<=X P p 的极大似然估计为：4484.05.0)64()64(5.0)25/2444()25/2444(22^=-Φ=-Φ-=--Φ--Φ=s s p （2）由题意得：)624()25/244(}{}{105.012-Φ=-Φ=≤=>-=-A s A A X P A X P ，于是经查表可求得A 的极大似然估计为0588.12^=A8、(1)X μ=，()()()222221111112n n n i i i i i i i E X E X EX EX n n n μμμμσ===-=-=-+=∑∑∑(2)()()()()1222221111111221n n ni i i i i i i i i i i E k X X k E X X k EX EX EX EX n k σ-++++===⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦∑∑∑则()121k n =-即为所求。

9、解 由题意得μμμμ=-=-=∑∑==78)()(81159^1i i i i X X E E及μμμμ=-=-=∑∑==2)7141()(81159^2i i i i X X E E所以^1μ和^2μ都是μ的无偏估计量又：22281159^178)()(σσσμ=-=-=∑∑==i i i i X X D D以及22281159^2145497168)7141()(σσσμ=-=-=∑∑==i i i i X X D D有)()(^2^1μμD D >，说明2^μ更有效。

10、(1)依题，i X ，j Y 与l Z 相互独立，()2222123ET aES bES cES a b c σ=++=++故T 是2σ的无偏估计的充要条件为1a b c ++=(2)记n 个样本的方差为2S ，则()()22211n S n χσ--，()4221D S n σ=- 故()2412D S σ=，()242D S σ=，()24323D S σ=故2222222224123223b c DT a DS b DS c DS a σ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭要使T 为最有效估计，只须使22223b c a ++在1a b c ++=的条件下取最小值即可。

令()222123b c L a a b c λ=++-++- 由20,0,20,3 1.La a Lb b Lc c a b c λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=-=⎪∂⎪⎪++=⎩得1,61,31.2a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩即为所求。

11、解 由题意可以求出：θθ2);()(022==⎰∞dx x f x X E 。

建立建立关于θ的似然函数：)()(212θθθi X in i eX L -=∏=，于是有：∑∑∑==-=--==ni i i n i X in i Xn X eX L i 121212ln )ln()ln()(ln 2θθθθθ令02)(ln 122=+-=∂∂∑=ni i X nL θθθθ，得到θ的极大似然估计值：nXni i212^∑==θ。

又：θθθ====∑=22)2()2()(2112^X E n XE E ni i，无偏的。

12、()22,0,,0,xx f x θθθ⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他。

，0θ>，()2,3EX xf x dx θθ∞-∞==⎰故3ˆ2X θ=为θ的矩估计量，且为无偏估计。

()()2112,0,,0,n n n in i i i x x L f x θθθθ==⎧∏≤<⎪=∏=⎨⎪⎩其他。

显然()L θ关于θ单调递减。

故θ取最小值时()L θ最大。

又θ不小于{}1max ,,n X X ，故(){}21ˆmax ,,n n X X X θ==为θ的极大似然估计。

又()()2122,0,,0,n n n X n x x f x θθθ-⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他。

，故()2202221n n nnnEX x dx n θθθ==+⎰即()22ˆ21n nE EX n θθ==+故2ˆθ为θ的有偏估计。

13、解 43);()(0θθθ==⎰dx x xf X E ，于是得θ的矩估计量为：34^X =θ。

建立建立关于θ的似然函数：)3()(321θθin i X L =∏=()i X >θ，若使其似然函数最大，于是可以求出θ的极大似然估计值：),,,max (21^n X X X =θ。

(2)由)(32211X X T +=，可计算θ=+=)]()([32)(211X E X E T E 。

设),m ax (21X X Z =，那么)()(),()),(m ax (}{212121t X P t X P t X t X P t X X P t Z P <<=<<=<=<，当0<t 时，0)),(m ax (}{21=<=<t X X P t Z P ，于是()767)1())(1())(1(02330θθθθθ=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<-=-=⎰⎰⎰∞∞dt t dt t Z P dt t F Z E Z 从而：θ===)),(max(67)),max(67()(21212X X E X X E T E因此1T 和2T 都是θ的无偏估计量。