第七章参数估计1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。
n2 6(X i x) 6 10i 1S 2 6.86 10 6。
ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹(1) f (x)e c e x (e 1},x c0,其它其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。
(2) f(x)、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。
(5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。
解：（ 1) E(X)xf(x)dxce c e x e dxe c ece 1e 1 e c 令 e c Xe 1, 令 e 1XX c(2) E(X)xf (x)dxe x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )22.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。
得e1e (5)-e 1 解：（1）似然函数 nL (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2i 1X n )mm 计)解：U,b 2的矩估计是X 74.002E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
ln x i 0（解唯一故为极大似然估计量）In X i nln ci 1⑵ L(B ) n n_f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1,ln L(B )n2~nln( 0) (0 1) In X ii 1dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i0,i 1? （nIn x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然估2.一 0 计量。
nm m n X i nmn 召 (5) L(p) P{X X i }p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X nn n nIn L(p) In m X i x i In p (mnX i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x ii 10 1 pn X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。
mn m 4.［四（2）］设X , X,…，X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩估计量。
解：（1）矩估计 X ~ n 入）,E （ X ）=入，故*= X 为矩估计量。
（2）极大似然估计L（入）nP(X i ；入)1nX i *1 X 1 !X 2! Xe n *,InL(入)iX i InIn X i !d In L(入) d 入nX ii 1入0 ,解得*X 为极大似然估计量。
(其中 p (Z) P{X X i }对e x ,X i 0,1,)5.［六］一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取样品，每个样品有 10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。
假设这则得到e 的矩估计值为e 2 2 6(1 e ) e 22e 5(1 e ))=l n2+5ln 求导 d" L (e ) d e ln L ( e e+ln(1-e )100个 100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n =l0，P 的二项分布。
P 是该地区一一块石子是石灰石的概率。
求 p 的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样品中属石灰石的石子数 012345678 9 10 观察到石灰石的样品个数16723 26 211231解：入的极大似然估计值为 ?=X = ［四（1）］ 设总体X 具有分布律X 12 3 Re 22 e (1 —e )2(1 — e )其中e （0< e <1）为未知参数。
X 1=1, X 2=2, X 3=1,试求 e 的矩估 计值和最大似然估计值。
解：（1）求e 的矩估计值E (X ) 1 e 2[e 3(1 2 20(1 e )][ e e ) (1 3(1e )] e )23 2e令 E(X) 3 2e⑵求 e 的最大似然估计值似然函数 3L(e )i 1P{X iX i } P{X 1 1}P{X 2 2}P{X 3 1}已知取得了样本值得到唯一解为? 568 ［九（1）］ 设总体 X 〜N （口，d 2）, X 1,n 1定常数c 使c （X i 1 X j ）2为/的无偏估计。
i 1解：由于X2)3(X 3 X 4)（2）在上述e 的无偏估计中指出哪一个较为有效。
解：（i ）由于X 服从均值为e 的指数分布，所以2E (X )= e , D (X )= e ,i=1,2,3,4由数学期望的性质 2° , 3° 有1E(T 1) 1【E(X 1)E(X 2)]6 1才[Eg) Eg)] e1E(T 2) 1【E(X 1)2E(X 2)5 3E(X 3)4E(X 4)] 2e1E(T 3) 1[E(XJ E (X 2)4E （X 3）E （X 4）］ e即T 1, T 2是e 的无偏估计量n 1 E[c (X i 1i 1n 1 =c [D(X ii 1l)X i )2]D(XJ1 c2(n［十］设有估计量n 1 c[ E(X i1 X i )2]i 1n 1c (X ii 1Xa , X 3, n (EX i 1 EX 1)2] c i 1(2 11D(X i 1 X i )2 (E(X i 1 X i ))2]1/02) c(2 n 1)/1 XJ2为2的无偏估计。
X 4是来自均值为B 的指数分布总体的样本，其中B 未知,X ,…，X 是来自X 的一个样本。
试确 T 2(X i 2X 2 3X 3 4X 4)5 (X iX 2 X 3 X 4(1)指出 T i , T 2,T 3哪几个是e 的无偏估计量;(2)由方差的性质 2°, 3°并注意到X , X z , X s , X 4独立，知D(TJ 秒［D(XJ D(X 2)］舟［D(X s )D(X 4)］吕 0236 9 18 11 2 D(T 2)岛［D(X I ) D(X 2)D(X s ) D(X 4)］ 4 e 216 4D ( T 1)> D ( T a )所以T 2较为有效。
14.［十四］ 设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)分别 为 。
设干燥时间总体服从正态分布 N ~ (口，d 2),求口的置信度为的置信区间。
(1)若由以往经验知 d =(小时)(2)若d 为未知。
解：(1) 口的置信度为的置信区间为(X d zJ n计算得 X 6.0,查表 Z 0.0251.96,的置信区间。
解：d 的置信度为的置信区间为其中a =, n=9 19.［十九］研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。
设两者都服从正态分布，并 且已知燃烧率的标准差均近似地为s ,取样本容量为n 1=n 2=20.得燃烧率的样本均值分别a ),20.61.96) (5.608,6.392) 9口的置信度为的置信区间为(X S t a (n拮n ~21)),计算得X 6.0 ,查表(8)=.S 21(x i x)212.64 8i 180.33.故为(6.0J 。
332.3060)(5.558,6.44216.[ 卜六］随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。
设炮口速度服从正态分布。
求这种炮弹的炮口速度的标准差d 的置信度为d 0.6,即为(6.02 (n 1)S2 (n 1)22(n 1)S 12 (n1)).8 11 .8 11(.17.535' 2.18)(7.4,21.1)查表知X 0.025(8)17.535, 2X0.975(8) 2.180为为18cm/s, X2 24cm/ s设两样本独立，求两燃烧率总体均值差口1—口2的置信度为的置信区间。
解：口 1—口 2的置信度为的置信区间为1- 20.052(18 24 2.58 2) ( 6.04, 5.96). X 20设两位化验员 A , B 独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做 次测定，其测定值的样本方差依次为S A O.5419,S B 0.6065.设 准，疇分别为A , B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。
设两样本独立，求方差比GA/话的置 信度为的置信区间。
解：cA.^B 的置信度为的置信区间其中 m=n 2=10, a =, (9,9)=, F 0.975 (9,9)S A rS B F (n i 1m~2 S A1^ SB F 1 上(n 1皿 21))(0.5419 (0.6065 4.03°.5419 加3* ,.0.6065(X 1 X 22 2■ nJ其中a =,2=,n 1=n 2=20, c£ 0.052,X 1 18, X2 24 20.［二十］ 101 1F0.025(9,9)4.03。