《一次函数》典型例题
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）3x y -
=； （2）x
y 8
-=； （3）)81(82x x x y -+=；
（4）x y 81+=.
例2 判断下列函数关系中，哪些是y 关于x 的一次函数（以下各题中的0k ≠且为常数）？（是一次函数的打√，若不是打×）
（1）3y k x =- （ ）
（2）(2)y k x =+ （ ）
（3）2
3y x x =+ （ ）
（4）3y k x =+ （ ）
（5）23y x k =+ （ ）
（6）5y k = （ ）.
例3 已知m y +与n x -成正比例（其中m ，n 是常数）
求证：y 是x 的一次函数；
例4 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数．
（1）正方形周长p 和一边的长a ．
（2）圆的面积A 与半径R ．
（3）长a 一定时矩形面积y 与宽x ．
（4）15斤梨售价20元．售价y 与斤数x ．
（5）定期存100元本金，月利率1.8％，本息y 与所存月数x ．
（6）水库原存水Q 立方米，现以每小时a 立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b 立
方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系．
例5 已知y-3与x成正比例函数，且x=2时，y=7．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求当x=2时y的值．
（3）求当y=-3时x的值．
参考答案
例1 解：（1）3x y -
=即为x y 31-=，其中31-=k ，0=b ，所以3x y -=是一次函数，也是正比例函数.
（2）x y 8
-=，因为x 8-不是整式，所以不能化为b kx +的形式，所以x y 8
-=不是一次函
数，当然也就不能是正比例函数了.
（3）)81(82
x x x y -+=经过恒等变形，转化为x y =，其中1=k ，0=b .所以)81(82x x x y -+=是一次函数，也是正比例函数. （4）x y 81+=，即为18+=x y ，其中8=k ，1=b .
所以，x y 81+=是一次函数，但不是正比例函数.
说明：判断函数是一次函数、正比例函数，首先看每个函数解析式能否通过恒等变形，转化为b kx y +=的形式，如果x 的次数是1，且0≠k ，则是一次函数，否则就不是一次函数；在一次函数中，如果常数项0=b ，那么它就是正比例函数.
例2 答案: √ √ ╳ √ √ ╳.
说明：本题考查一次函数的概念，要理解一次函数的概念。

例3分析：要证明y 是x 的一次函数，只需证明y 与x 的关系式满足b kx y +=的形式，其中b k ,为常数，且.0≠k
证明：因为m y +与n x -成正比例，
所以m y +=k （n x -）(k 是不为零的常数).
因为k 、m 、n 是常数，且0≠k ，
所以)(m kn kx y +-=，
所以)(m kn +-也是常数，
所以)(m kn kx y +-=是一次函数，即y 是x 的一次函数.
例4 分析：根据几何知识或实际意义列出两变量之间的关系式，再由一次函数和正比例函数的概念进行判别．
解：（1）∵p=4a．自变量a 为一次且其系数为4(不为零)．∴p 为a 的一次函数．又∵
不含常数项所以也是正比例函数．
（2）2
A R π=，自变量R 的次数是二次，所以不是一次函数，也不是正比例函数．
（3）y=ax ，自变量x 为一次且系数a 为长度(不为零)．∴y 是x 的一次函数．∵不含常数项．∴y 也是x 的正比例函数．
（4） x y 34
=,自变量x 为一次，又系数034
≠。

∴是一次函数，也是正比例函数。

（5）y=100+100×1.8%x，自变量x 的次数为一次，又含有常数项．∴y 是x 的一次函数但不是正比例函数．
（6）M=Q+(b-a)t ，因为自变量t 的次数为一次，当a≠b 时，M 是t 的一次函数．若Q=0时，M 是t 的正比例函数；若a=b 时，M 是常量函数，不是t 的一次函数．
说明：在实际问题中要注意自变量的取值范围.（限于学生的认识水平，教师可酌情处理取值范围问题）
(1)中正方形边长a ＞0．
(3)中矩形的宽0＜x ＜a ．
(4)中梨的斤数x≥0．
(5)所存月数x≥0．
（6）中注放水时间t ，当a >b ,b a Q
t -<<0,当a b >时与水库可存水量有关。

例5 分析：y-3与x 成正比例函数；把y-3看成一个变量，首先就可设y-3=kx(k≠0) 解：(1)∵(y -3)是x 的正比例函数
∴设y-3=kx(k≠0)
把x=2时y=7代入上式得k=2
∴y 与x 的函数关系式为y=2x+3
y 是x 的一次函数
(2)当x=2时，y=2×2+3=7
(3)当y=-3时，-3=2x+3 ∴x=-3
说明：①把y-3当作一个整体变量来看待．②凡是正比例函数，一律设y=kx(k≠0)形式．③已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值都只需代入函数关系式通过计算求得．。