T1 T

T1
n= —
n
lim
T1

n= —
F ( j ) e 2π
1
jn1t
T1 , 记 n1 = , 1 = 2/T1 = d,
1 j t f (t ) F ( j ) e d 2π
F(j)的傅里叶反变换
3.4
傅里叶变换
B

2π

(rad/s)
B
f
1

(Hz)
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即 越大，其B越 小；反之，越小，其B 越大。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明 显影响。 说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。
例如：语音信号频率约为300 ~ 3400Hz，音乐信号频率约为50 ~
3.4
傅里叶变换
fT (t ) f(t )
一、傅里叶正、反变换的定义（1）
●●● ●●●
-T1
0
f (t ) lim fT (t )
T1
T1
t
0
t
f (t ) F e
T n = n
T1 n

jn1t
1 F f (t )e T
n T1 2 T 1 2 T 1
n1 sin E 2 Fn T1 n1 2
当n1=0及n1=(2k+1)/时（k0、1），Fn=极值。
3.3
典型周期信号的傅里叶级数
一、周期矩形脉冲的傅里叶级数（5）
3. 频谱特点（2） （5）0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频 带宽度（信号带宽）,即
jn 1t
dt 谱线间隔 `1

2π T1
0
1 1 lim F lim f (t )e dt lim f (t )e dt 0 T T 用 lim F 来表示非周期信号f(t)的频谱是不行的！
T1 T1 2 T 1 2 jn1t j t T T1 1 1
1 1 1
31 1
1 31
=1/20 s，T1=1/4 s
Fn=0.2ESa(n/5)
3.3
典型周期信号的傅里叶级数
Fn
一、周期矩形脉冲的傅里叶级数（4）E/T1
3. 频谱特点（1）
(1) 频谱包络服从抽样函数 sin x Sa ( x) x

2π
2π


1=2/T1

(2) 频谱具有离散性、谐波性和收敛性。 (3) Fn的最大值出现在n=0处。 (4) 当n1=2k/时（k0），Fn=0；

一、傅里叶正、反变换的定义(3)
傅立叶正变换： 傅立叶反变换： 符号表示：
F ( )


f (t )e jt dt
1 f (t ) F ( )e jωt d 2π

F ( ) F [ f (t )] f (t ) F 1[ F ( )]
退出
3.3
典型周期信号的傅里叶级数
二、周期锯齿脉冲的频谱 三、周期三角脉冲的频谱 四、周期半波余弦信号的频谱 五、周期全波余弦信号的频谱
3.3
典型周期信号的傅里叶级数

【例】求周期冲激序列信号
T (t )
n
(t nT )
的指数形式的傅里叶级数表示式。 解 冲激串信号的复系数为
1 2 1 jn1t Fn T (t )e dt T 2 T
T
所以
1 jn1t T (t ) e T n
分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：频谱函数 要点
频谱的定义、物理意义 频谱的特点 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 功率谱的概念及在工程中的应用---如分析高压 电中的谐波现象
T1
n
引入频谱密度函数，来表示非周期信号的频谱。
3.4
傅里叶变换
一、傅里叶正、反变换的定义(2)
F ( j) lim T F f (t )e dt
j t T1 1 n
f(t)的傅里叶变换
jn1t
f (t ) lim f (t ) lim F e
T1
(3)

1 s 20
T1 1s Fn
E n Sa 20 20
结论：当周期1变大时，零分量频率不 变：B 或Bf不变；1减小，谱线间距减 小，谱线变密；有效谱带内谐波分量增 多；谱线振幅减小，变化缓慢。
3.3 典型周期信号的傅里叶级数 一、周期矩形脉冲的傅里叶级数（7）
15,000Hz，扩大器与扬声器有效带宽约为15~20,000Hz。
3.3 典型周期信号的傅里叶级数 一、周期矩形脉冲的傅里叶级数（6）
4. 频谱随参数的变化（1）
（1）设f(t)中的 E不变，不变，当周 期1变化时，频谱如何变化？
(1)
(2)
1 s 20 1 s 20

E n 1 s Fn S a 4 5 5 1 n T1 s Fn E S a 2 10 10
信号与系统 SIGNALS & SYSTEMS
第5周 第十讲
电气学院 通信教研室
3.3 典型周期信号的傅里叶级数 一、周期矩形脉冲的傅里叶级数（1）
-T1/2
T1/2
1．三角形式的谱系数
3.3 典型周期信号的傅里叶级数 一、周期矩形脉冲的傅里叶级数（2）
化为抽样函数
3.3
典型周期信号的傅里叶级数
jn1t
一、周期矩形脉冲的傅里叶级数（3）
2. 指数形式的谱系数 f (t ) F e
n = n
1 F T
n 1
T1
T1
2 2
f (t )e
jn1t
1 dt Ee T
2 2

jn1t
dt
1
1=8
n sin E 2 n T 2
4. 频谱随参数的变化（2）
（2） 设f(t)中的 E不变，周期1不变， 当 变化时，频谱如何变化？
(1)

1Байду номын сангаасs 20
T1
1 s 4
E n Fn S a 5 5
Fn E n Sa 2 2
(2)
1 s 8
1 T1 s 4
结论： 增大时，1不变，谱线间距 不变；零分量频率减小：B 或Bf变小； 有效谱带内谐波分量减少；谱线振幅 较大，减小变化急速。