【成才之路】2015版高中数学 3.4 基本不等式（第1课时）练习一、选择题1．函数f(x)＝xx ＋1的最大值为 ( )A.25 B ．12 C.22 D ．1[答案] B[解析] 令t ＝x (t≥0)，则x ＝t2，∴f(x)＝x x ＋1＝tt2＋1.当t ＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝1t2＋1t ＝1t ＋1t. ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t≤12. ∴f(x)的最大值为12.2．若a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab≤12 B ．ab≥12C ．a2＋b2≥2D ．a2＋b2≤3[答案] C[解析] ∵a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，∴b ＝2－a(0≤a≤2)，∴ab ＝a(2－a)＝－a2＋2a ＝－(a －1)2＋1.∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A 、B 错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2.∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a2＋b2C ．2abD ．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12，又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a2＋b2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a2＋b2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4.当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于 ( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x>0，y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案]D [解析] 由等差、等比数列的性质得a ＋b 2cd＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．[答案] 14 [解析] ∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(1－x)≤[x ＋1－x 2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t>0，则函数y ＝t2－4t ＋1t的最小值是________． [答案] －2[解析] ∵t>0，∴y ＝t2－4t ＋14＝t ＋1t －4≥2t·1t －4＝－2，当且仅当t ＝1t ，即t ＝1时，等号成立．三、解答题9．已知x>0，y>0.(1)若2x ＋5y ＝20，求u ＝lgx ＋lgy 的最大值；(2)若lgx ＋lgy ＝2，求5x ＋2y 的最小值．[解析] (1)∵x>0，y>0，由基本不等式，得2x ＋5y≥22x·5y ＝210·xy.又∵2x ＋5y ＝20，∴20≥210·xy ，∴xy ≤10，∴xy≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝5y 2x ＋5y ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2. ∴当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10.这样u ＝lgx ＋lgy ＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，umax ＝1.(2)由已知，得x·y ＝100，5x ＋2y≥210xy ＝2103＝2010.∴当且仅当5x ＝2y ＝103，即当x ＝210，y ＝510时，等号成立． 所以5x ＋2y 的最小值为2010.10．求函数y ＝x2＋a ＋1x2＋a的最小值，其中a>0. [解析] 当0<a≤1时，x2＋a 当且仅当x ＝±1－a 时，ymin ＝2. 当a>1时，令x2＋a ＝t(t≥a)， 则有y ＝f(t)＝t ＋1t .设t2>t1≥a>1，则f(t2)－f(t1)＝t2－t1t1t2－1t1t2>0， ∴f(t)在[a ，＋∞)上是增函数．∴ymin ＝f(a)＝a ＋1a，此时x ＝0. 综上，当0<a≤1，x ＝±1－a 时，ymin ＝2；当a>1，x ＝0时，ymin ＝a ＋1a.一、选择题1．设a 、b ∈R ，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )A ．a2＋b2>2abB ．a ＋b≥2abC.1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b ≥2 [答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a 、b<0时，B 、C 都不成立，故选D.2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a2＋b2中最大的一个是( ) A ．a2＋b2 B ．2abC ．2abD ．a ＋b[答案] D[解析] 解法一：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab ，a ＋b>2ab ，a>a2，b>b2，∴a ＋b>a2＋b2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a2＋b2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 ( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x≥a ＋b 2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 222等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y)(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是 ( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.∴xy ＝x(2－2x)＝2x 2－2x 2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12，等号成立时2x ＝2－2x ，即x ＝12，y ＝1，∴xy 的最大值为12.二、填空题5．已知2x ＋3y ＝2(x>0，y>0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6[解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤2，∴xy≥6.6．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________． [答案] 1[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎡⎦⎤5－4x ＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长．[解析] 设一条直角边长为x cm ，(0<x<10)，则另一条直角边长为(10－x)cm ，面积s ＝12x(10－x)≤12[x ＋10－x 2]2＝252(cm2)等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x2＋10－x 2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k(2000x)，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1 440 000x＋100x ≥2 1 440 000x·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1 440 000x＝100x ，即x ＝120时取等号． 所以只需每批购入120台，可使资金够用．。