[核心必知]1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d )(a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)x 21＋y 21＋x 22＋y 22x 1，y 1，x 2，y 2∈R )．(2)推论：（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．[问题思考]1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝cd 吗？提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝cd不成立．2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线，且P1，P2在原点两旁时，等号成立.2·a2＋c2≥a＋c，设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b，同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：2(a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2)≥2(a＋b＋c)，∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2·(a＋b＋c)．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋.1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)．证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)，由柯西不等式得[(a 1)2＋(a 2)2](a 21＋a 22)≥(a 1a 1＋a 2a 2)2， 于是a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32≥(a 31＋a 32)2. 故a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32≥a 31＋a 32， 同理a 32＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 33≥a 32＋a 33， a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥a 33＋a 31.将以上三个同向不等式相加，即得a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32＋a 32＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 23＋ a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥2(a 31＋a 32＋a 33)．设a ，b ，c ，d 是4个不全为零的实数，求证： ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d2≤ 2＋12. [精讲详析] 本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件． ab ＋2bc ＋cd ＝(ab ＋cd )＋(bc －ad )＋(bc ＋ad )≤2[（ab ＋cd ）2＋（bc －ad ）2]＋（b 2＋a 2）（c 2＋d 2） ＝2·（a 2＋c 2）（b 2＋d 2）＋（a 2＋b 2）（c 2＋d 2） ≤2·（a 2＋c 2）＋（b 2＋d 2）2＋（a 2＋b 2）＋（c 2＋d 2）2＝2＋12(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)．∴ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d2≤2＋12.利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．2．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a 22－a ＋b22－b＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4（2－a ）＋（2－b ）＝2. ∴原不等式成立.若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值．[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式得(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2， 25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425. 当且仅当x 3＝y4时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4.得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.利用柯西不等式求最值的方法(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一．3．如何把一条长为m 的绳子截成2段，各围成一个正方形，使这2个正方形的面积和最小？解：设这2段的长度分别为x ，y ，则x ＋y ＝m ，且2个正方形的面积和S ＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫y 42＝116(x 2＋y 2)．因为(x 2＋y 2)(12＋12)≥(x ＋y )2＝m 2，等号当且仅当x ＝y ＝m 2时成立， 所以x 2＋y 2有最小值m 22，从而S 有最小值m 232.把绳子两等分后，这2段所围成的2个正方形的面积和最小．柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点．本考题以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的应用，是高考命题的一个新亮点．[考题印证]已知实数a 、b 、c 、d 满足a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝2，求ac ＋bd 的最大值． [命题立意] 本题考查柯西不等式在求最值中的应用． [解] ∵a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝2，∴由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 得(ac ＋bd )2≤1×2＝2. ∴－2≤ac ＋bd ≤ 2.当且仅当ad ＝bc ，即c a ＝db ＝2时取最大值 2.∴ac ＋bd 的最大值为 2.一、选择题1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ] C ．[－10，10 ] D ．(－5， 5 ] 解析：选A ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2， 即20≥(a ＋b )2， ∴－25≤a ＋b ≤2 5.2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D.3625解析：选B 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝⎛⎭⎫12＋13·65 ≥65(2x ·22＋3y ·33)2＝65(x ＋y )2＝65. 3．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥Q D ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(ax ，b y )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝（ax ）2＋（by ）2·（a ）2＋（b ）2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ ax 2＋by 2，∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q .4．已知p ，q ∈R ＋，且p 3＋q 3＝2，则p ＋q 的最大值为( ) A ．2 B ．8 C.12D ．4解析：选A 设m ＝(p 32，q 32)，n ＝(p 12，q 12)， 则p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m |·|n | ＝p 3＋q 3·p ＋q ＝2·p ＋q .又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)， ∴（p ＋q ）22≤p 2＋q 2≤2p ＋q .∴(p ＋q )4≤8(p ＋q )．∴p ＋q ≤2. 二、填空题5．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，则P 与Q 的大小________．解析：由柯西不等式，得 P ＝am ·b m＋nc ×dn≤（am ）2＋（nc ）2×⎝⎛⎭⎫ b m 2＋⎝⎛⎭⎫ d n 2＝am ＋nc ×b m ＋dn ＝Q . 答案：P ≤Q6．函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(x －6＋12－x )2≤(12＋12)·[(x －6)2＋(12－x )2]＝12， ∴x －6＋12－x ≤23(当x ＝9时，“＝”成立)． 答案：2 37．设xy >0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎫y 2＋1x 2的最小值为________． 解析：原式＝⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫2y 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 答案：98．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是________． 解析：(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2(4×1＋2)＝12.答案：12 三、解答题9．已知a 2＋b 2＝1, x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1. 证明：由柯西不等式得 (ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1. 故|ax ＋by |≤1成立．10．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.求证：－23≤c ≤1.证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得，3c 2－c －2≤0， 解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.11．若x 2＋4y 2＝5.求x ＋y 的最大值及最大值点． 解：由柯西不等式得 [x 2＋(2y )2]⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥(x ＋y )2即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，最大值点为⎝⎛⎭⎫2，12.。