课时9
匀变速直线运动的位移与时间的关系
匀变速直线运动的位移与速度的关系
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在平直的公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车同时 经过某一个路标，从此时刻开始计时．它们的位移 x随时间 t
的变化规律为：汽车x1＝10t－，自行车x2＝6t.
请你思考： 1 ．汽车和自行车各做什么运动？能写出它们的速度随 时间变化的表达式吗？ 2 ．是汽车追自行车，还是自行车追汽车？多少时间能
课时8 匀变速直线运动的速度与 时间的关系
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轮船为什么总是逆水靠岸？ 如果你乘坐轮船，就会发现一个很有趣的现象：每当轮 船要靠岸的时候，总是要把船头顶着流水，慢慢地驶向码头， 然后平稳靠岸．在长江或其他大河里顺流而下的船只，当它 们到岸时，不会立刻靠岸，都要掉头，使船变成逆着水流方 向行驶以后，才缓缓靠岸．实际上这是利用了流水对船身的 阻力，起到了使船“刹车”的作用． 请你思考： 1 ．在船逆水靠岸停下的过程中，船的加速度方向与船 的速度方向相同还是相反？如果以船速为正方向，船的加速 度是正还是负？ 2 ．假设船停下的过程中，加速度大小恒为 a，船速由 v 减到零，船逆水航行的距离应为多长？
图9－3 A．在0～10 s内，两车逐渐靠近 B．在10～20 s内，两车逐渐远离 C．在5～15 s内，两车的位移相等 D．在t＝10 s时，两车在公路上相遇
物体做匀变速直线运动时，设连续两段相等的时间T内的位移分别为xn、
xn＋1，则在这两段位移内的平均速度恰等于中间时刻的瞬时速度，如图9－4 所 示．
2．任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差 是常量． (1)公式：Δx＝x2－x1＝aT2 1 2 (2)推导x1＝v0T＋ aT 2 1 x1＋x2＝v0· 2T＋ a(2T)2 2 3 2 联立可得：x2＝v0T＋ aT 2 所以得：x2－x1＝aT2.
四、追及相遇问题
1．同时同位
两物体相遇一定是同一时刻处在同一位置．
图9－4 写成公式就是 请你说出这一重要公式的几种证明方法
xn＋xn＋1 vn＝ 2T
课时10 自由落体运动
伽利略对自由落体运动的研究
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雨滴、飘落的树叶、失手掉落的物体等，都是落体．大家由经验知道，若树 叶和砖头从相同的高度同时落下，砖头会先到达地面，这类事件不免让人们认为
重量越大的物体下落越快．
2 2 0 0 0 2 t 0
2
2 －v0＝2ax.
知识精析
一、匀变直线运动位移公式的推导 1．在匀速直线运动中，物体的位移等于v－t图线下面矩 形的面积． 2．在匀变速直线运动中，其v－t图象是一条倾斜的直线， 要求t时间内物体的位移，我们可以把时间分成 n小段，每小 段起始时刻的速度乘以时间就近似等于这段时间的位移， 各段位移可用一高而窄的小矩形的面积表示，把所有小 矩形的面积相加，就近似等于总位移，如图9－1所示．
但是，科学之所以为科学，在于它并不满足于经验．把硬币和羽毛放在一根 玻璃管的底部，并抽去管里的空气，然后把它倒竖起来，你会看到它们同时到达
管的另一端，而并非物体越重下落得越快．美国阿波罗飞船登上几乎没有大气的
月球后，宇航员特地做了使羽毛和重锤从同一高度同时下落的实验，无数观众从 电视机屏幕上看到，它们并排下降，且同时落到月球表面． 请你思考： 1．物体只在重力作用下下落的快慢与其重力有关系吗？
基础梳理
知识精析
一、匀变速直线运动的速度公式 1．注意弄清公式中各符号的意义： (1)v0、v分别表示物体的初、末速度． (2)a为时间t范围内的加速度，且a为恒量． 2．公式v＝v0＋at是个矢量式： (1) 一般规定 v0 的方向为正方向， a 与 v0 同向时表明物体 的速度随时间均匀增加，a与v0反向时，表明物体的速度随时 间均匀减小． (2)应用公式v＝v0＋at进行计算时，除“＋”外，其他各 量要根据正方向的规定情况加上相应的“正负”号． 3．几种特殊的匀变速直线运动： (1)当a＝0时，公式为v＝v0. (2)当v0＝0时，公式为v＝at. (3)当a＜0时，公式为v＝v0－at(此时a取绝对值)．
(1)位移关系：x2＝x0＋x1 x0 表示开始运动时两物体间的距离， x1 表示前面被追物 体的位移，x2表示后面追赶物体的位移． (2)时间关系：t1＝t2＝t 即追及过程经历时间相同，但t1、t2不一定是两物体运动 的时间．
2．临界状况
当两物体速度相等时可能出现恰能追及、恰好避免相撞、 相距最远、相距最近等情况，即该四种情况的临界条件为 v1 ＝v2. 3．分析v－t图象 说明：(1)Δx是开始追及以后，后面物体因速度大而比前 面物体多运动的位移；
三、两个有用的结论
1．匀变速直线运动的平均速度
(1) 结论：做匀变速直线运动的物体在一段时间 t 内的平
均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间
初末速度矢量和的一半．
t v0＋v － (2)公式： v ＝v ＝ . 2 2 t t (3)推导：v ＝v0＋a 2 2
t t v＝v ＋a 2 2 t t 联立可得：v －v＝v0－v 2 2 t v0＋v 所以v ＝ 2 2 1 2 又由x＝v0t＋ at 得： 2 v0＋v x 1 1 － v ＝ ＝v0＋ at＝v0＋ (v－v0)＝ t 2 2 2 t v0＋v － 联立解得： v ＝v ＝ . 2 2
匀速追 匀减速
匀加速追 匀减速
类型
图
象
说
明
匀减速追 匀速
匀速追 匀加速
匀减速追 匀加速
开始追及时， 后面物体与前面 物体间的距离在减小， 当两物 体速度相等时，即 t＝ t0 时刻： ①若 Δx＝ x0， 则恰能追及， 两 物体只能相遇一次， 这也是避 免相撞的临界条件． ②若 Δx＜ x0， 则不能追及， 此 时两物体最小距离为 x0－ Δx. ③若 Δx＞ x0， 则相遇两次， 设 t1 时刻 Δx1＝ x0，两物体第一 次相遇， 则 t2 时刻两物体第二 次相遇 .
方法指导
一、根据纸带判断物体速度随时间变化的规律 例1 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中， 图7－2甲给出了从0点开始，每5个点取一个计数点的纸带， 其中0，1，2，3，4，5，6都为计数点.测得：x1＝1.40 cm， x2＝1.90 cm，x3＝2.38 cm，x4＝2.88 cm，x5＝3.39 cm，x6 ＝3.87 cm.那么：
二、识别v－t图象 如图8－1所示， v－t图象描述速度随时间的变化关系， 记录了任意时刻物体的速度，用图象法处理物理问题的优点 是：形象直观、清晰便捷，能清楚地反映运动物体的速度随 时间变化的情况，便于从整体上认识运动的过程、运动的特 点．
图8－1 1．两图线的交点：表示该时刻两物体速度相同. 2．图线与坐标轴的交点： (1)与t轴的交点：表示速度为零，方向改变． (2)与v轴的交点：表示初速度．
3．图线的拐点(折点)： 表示加速度改变，速度出现极值． 4．几个常见弯曲图线：(图线的斜率表示物体的加速度)
图线
物理意义 表示物体运动的加速度越来越大，速度越 来越大． 表示物体运动的加速度越来越小，最后为 零；速度越来越大，最后匀速．
表示物体运动的加速度越来越大，速度越 来越小，最后为零.
方法指导
一、速度时间关系式的应用 例1 某汽车在某路面紧急刹车时，加速度的大小是6 m/s2， 如果必须在2.5 s内停下来，则该汽车的行驶速度最大不能超 过多少？(假设汽车刹车后做匀减速运动)
变式训练1
汽车以40 km/h的速度匀速行驶， (1)若汽车以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s后速度能达到 多少？ (2)若汽车刹车以0.6 m/s2的加速度减速，则10 s 后速度减 为多少？ (3)若汽车刹车以3 m/s2的加速度减速，则10 s后速度为多 少？
位移公式：x＝vt.
0 2 2 2 0
匀变速 不涉及时间时常选用公式v －v ＝2ax. 1 直线运 不涉及末速度时常选用公式x＝v t＋ at . 2 动的常 v ＋v 用公式不涉及加速度时常选用公式x＝ 2 t. 不涉及位移时常选用公式v＝v ＋at.
匀变直线运动的位移与速度关系：v
变式训练1
一物体做匀加速直线运动，第5 s内的位移为10 m，第7 s 内的位移为20 m，求物体的加速度大小．(至少用两种方法求 解)
三、刹车类问题分析
例3 以10 m/s的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速
直线运动．若汽车刹车后第2 s内的位移为6.25 m(刹车时间超
过2 s)，则刹车后6 s内汽车的位移是多大？
四、追及相遇问题 例4 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线 运动，t＝ 0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车 运动的 v－ t 图中 ( 如图 9 － 3所示 ) ，直线 a 、 b 分别描述了甲、 乙两车在0~20 s的运动情况.关于两车之间的位置关系，下列 说法正确的是( )
二、利用v－t图象分析物体的运动 例2 分析如图8－2所示的图线，物体在各段时间内做何 种运动？哪一时间内的加速度最大？
图8－2
变式训练2
某质点的运动图象如图8－3所示，则质点( )
图8－3 A．在第1 s末运动方向发生变化 B．在第2 s末运动方向发生变化 C．在第2 s内速度越来越大 D．在第3 s内速度越来越大
方法指导
一、匀变速直线运动位移公式的应用 例1 由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s内通过 0.4 m的位移，问： (1)汽车在第1 s末的速度为多大？ (2)汽车在第2 s内通过的位移为多大？
二、灵活应用匀变速直线运动公式
例2 火车沿平直铁轨匀加速前进，通过一路标时的速度 为10.8 km/h 1 min后变成54 km/h，又需经一段时间，火车的速度才 能达到64.8 km/h.求所述过程中火车的位移是多少．
图9－1