12. 设 ,利用初等行变换求A-1.
复习题一
1. 设A,B,C均为n阶矩阵，且ABC=E,则必有（ ）.
(A)ACB=E； (B)CBA=E； (C)BAC=E； (D)BCA=E.
2. 设 , ,
, ，则必有 ( ) .
(A)AP1P2=B； （B）AP2P1=B； (C)P1P2A=B； (D)P2P1A=B.
1.写出下列二次型的矩阵表示形式：
2.写出对称矩阵 所对应的二次型．
3.已知二次型 的秩为２，求 的值．
4.求一个正交变换将 化成标准形．
5.用配方法将二次型 化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．
6. 设二次型 ，若通过正交变换 化成标准形 ，求 的值．
7. 判别下列二次型的正定性：
（1）
（2）
8. 设 为正定二次型，求 的取值范围．
4. 计算
(1)
(2)
5. 已知两个线性变换 , ,写出它们的矩阵表示式,并求从 到 的线性变换.
6. 设f(x)=a0xm+a1xm-1+…+am，A是n阶方阵，定义f(A)=a0Am+a1Am-1+…+amE.
当f(x)=x2-5x+3， 时，求f(A).
7. 举出反例说明下列命题是错误的.
(1) 若A2=O，则A=O.
6. 设 , , ,证明三直线
相交于一点的充分必要条件是向量组 线性无关，且向量组 线性相关．
第5章 矩阵的特征值和特征向量
习 题
1.已知向量α1=(1,-1,1)T，试求两个向量α2,α3，使α1,α2,α3为R3的一组正交基．
2.设A,B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵．
3.设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1，证明：-1是A的一个特征值．
9.设矩阵A= (1,2,…,n),B=(n,n-1,…,1)，求秩R(ATB).
10.设矩阵 ，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式.
11.已知矩阵 ，若A的秩R(A)=2，求参数t的值.
12.设 ，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.
13.设A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，证明：如果A2=A,则
测试题一
一、计算题：
1.计算行列式 .
2．设 ， ，计算 ．
3．设 、 都是四阶正交矩阵，且 ， 为 的伴随矩阵,计算行列式 ．
4．设三阶矩阵 与 相似，且 ，计算行列式 ．
5．设 ，且 的秩为2，求常数 的值．
二、解答题：
6．设 ，其中 是各不相同的数，问4维非零向量 能否由 线性表示说明理由．
7．求齐次线性方程组 的一个基础解系．
(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间 的基；
(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵；
(3) 已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在A组基下的坐标．
第4章 线性方程组
习 题
1.写出方程组 的矩阵表示形式及向量表示形式.
2.用克朗姆法则解下列线性方程组
,其中
3.问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解
5. 设A=(1,2,3)，B=(1,1/2,1/3)，令C=ATB，求Cn.
6. 证明：如果Ak=O，则(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1，k为正整数.
7.设A,B为三阶矩阵, ,且A-1BA=6A+BA，求B.
8. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求 .
9. 设 （ ），求X-1.
第2章 行列式
５、“若向量组 线性无关，向量组 线性相关，则 一定能由
线性表示”．该命题正确吗。
二、计算下列各题:
1、计算行列式
2、设 ， ，且 ，求 ．
3、利用初等行变换求矩阵 的秩，并写出矩阵 的列向量组的一个极大线性无关组．
（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．
4．设四元齐次线性方程组
（Ⅰ） （Ⅱ）
求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．
5．设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，其中α2,α3,α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax=β的通解．
三、证明题:
11．设 ， ， ，且 线性无关，证明： 也线性无关．
12．设 为实对称矩阵，且满足 ，证明 为正定矩阵．
测试题二
一、填空题:
１、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列5的逆序数为；
２、已知 为三阶正交矩阵，且 ＜０，则 =；
３、设方阵 = ，若 不可逆，则 ；
４、设 ，其中 ， ，则 =；
9.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T，求矩阵A．
复习题五
1.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是．
2.已知3阶矩阵A,A-E,E+2A都不可逆，则行列式|A+E|=．
3.设 ， ，已知A与B相似，则a,b满足．
4.设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0,Aα2=2α1+,α2，则A的非零特征值为.
3. 设A为 阶可逆矩阵，将A的第１列与第４列交换得B，再把B的第2列与第3列交换得C，设
， ，则C-1=（ ）.
(A)A-1P1P2； (B)P1A-1P2； (C)P2P1A-1； (D)P2A-1P1.
4. 设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（ ）.
(A)A-E不可逆 ； (B)A-2E不可逆 ； (C)A-3E可逆； (D)A-E和A-2E都可逆.
习 题
1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组
2.当x取何值时， .
3.求下列排列的逆序数：
(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).
4.证明： .
5.已知四阶行列式|A|中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A|.
6.计算下列行列式:
复习题六
1. 设A为 矩阵，B=λE+ATA，试证：λ>0时，矩阵B为正定矩阵．
2.设 ,写出以A,A-1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．
3. 已知二次曲面方程 ，通过正交变换X=PY化为椭圆柱面方程 ，求 的值．
4. 设矩阵 ， ，其中 为实数，求对角矩阵Λ，使B
与Λ相似，并讨论k为何值时，B为正定矩阵．
3．设有三个n维向量组A：α1,α2,α3；B：α1,α2,α3,α4；C：α1,α2,α3,α5．若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组α1,α2,α3,α4-α5线性无关．
4．设向量组A:α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T和B:β1=(-1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,-1)T
2.设α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T,α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1-x)+2(α2+x)=5(α3+x),求向量x.
3. 判别下列向量组的线性相关性:
(1)α1=(-1,3,1)T,α2=(2,-6,-2)T,α3=(5,4,1)T；
(2)β1=(2,3,0)T,β2=(-1,4,0)T,β3=(0,0,2)T.
7.设α1,α2,…,αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1,α2,…,αn线性无关．
8.设有向量组α1,α2,α3,α4,α5，其中α1,α2,α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a,b,c,d均为不为零的实数)，求向量组α1,α3,α4,α5的秩．
(1)
(2)
(3)
(4)
（5） ，其中 ．
7．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：|A*|=|A|n-1，(n≥2)．
8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算|-2A*B-1|．
9.设 ，利用公式求A-1.
复习题二
1．设A,B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*，证明：(AB)*=B*A*．
2.设 ，求A-1．
3.已知A1,A2,B1,B2都是31矩阵，设A=(A1,A2,B1,)，B=(A1,A2,B2)，|A|=2，|B|=3，求|A+2B|．
4．设A,B都是n阶方阵，试证： ．
第3章 向量空间
习 题
1.设α1=(1,-1,1)T,α2=(0,1,2)T,α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．
R(A)+R(A-E)=n．
14.已知向量空间 的两组基为
, 和 , ，
求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵.
复习题三
1.设矩阵 ，已知A的秩为3，求k的值.
2．设向量组A:α1,…,αs与B:β1,…,βr，若A组线性无关且B组能由A组线性表示为(β1,…,βr)＝(α1,…,αs)K，其中K为 矩阵, 试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)＝r.
5.已知矩阵 可相似对角化，求 ．
6.设矩阵A满足A2-3A+2E=O，证明A的特征值只能是1或2．
7.已知p1=(1,1,-1)T是对应矩阵 的特征值 的一个特征向量．
(1) 求参数a,b及特征值 ； (2) 问A能否相似对角化说明理由．
8. 设 ，求φ(A)=A10-5A9．
第6章 二次型
习 题
2．设齐次线性方程组a1x1+a2x2+…+anxn=0,且a1,a2,…,an不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.