球面方程.
解 设 M(x,y,z)是球面上任一点, |M0M |R
(x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R
所求方程为
( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2
特殊 球心在原点的球面方程 x2y2z2R2
2009.2.6
作设平 点行M z1轴(x的,y直,0)线在L圆, 对C上任,意过z点,点M M 1((xx,,yy,0 ,z)x)
•
OM1
• •
• • •
y
L
的坐标也满足方程 x2y2 R2, 沿曲线C,
平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点 的坐标都满足此方程,此曲面称为圆柱面.
在空间,x2y2R2就是圆柱面方程.
选择题
方程 (za)2x2y2表示( B ). (A) xOz平面上曲线 (za)2x2绕y轴旋转所得曲面; (B) xOz平面上直线zax绕z轴旋转所得曲面； (C) yOz平面上直线 zay绕y轴旋转所得曲面；
(D) yOz平面上曲线(za)2y2绕x轴旋转所得曲面.
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7-3-3
曲面及其方程
例 求与 O 及 原 M 0(2点 ,3,4)的距离 1 ： 2的 之点 比 的全体所组成的曲面方程.
解 设 M(x,y,z)是曲面上任一点, | MO | 1 | MM0 | 2
x2y2z2
1
x22y32z42 2
所求方程
x22y12z42116
3
3 9
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因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,
母线平行于z轴的柱面.
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北柱 面
z
举
例
O
x
y2 2x
y
抛物柱面
z
O
x
平面
y
yx
y2 2x表示母线平行于z yx表示母线平行于z轴
轴的柱面, 其准线是xOy面 的柱面, 其准线是xOy面上
上的抛物线 y2 2x.
y2 b2
1
双曲柱面
母线平行于z轴
x2 2pz 抛物柱面 母线平行于y轴
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7-3-14
曲面及其方程
四、二次曲面
二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
具体形式为：
a 2 b x 2 c y 2 e z f x y g y z h z m x x n q y z 0
那么,方F (程 x,y,z)0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
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7-3-2
曲面及其方程
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
例 建立球 M 0(x 心 0,y0,在 z0)、 点 半 R 的 径为
7-3-10
曲面及其方程
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为 柱面.
这条定曲线C 称为柱面的 准线,
动直线L称为柱面的 母线.
母
准线
线
LC
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7-3-11
曲面及其方程
z
例 讨论方程 x2y2 R2的图形.
M•
解 在xOy面上, x2y2 R2表一个圆C. C
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7-3-7
曲面及其方程
例 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成
的旋转曲面的方程.
(1)
双曲线
x2 a2
z2 c2
1 分别绕x轴和z轴;
绕x轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z轴旋转
x2 y2 a2
z2 c2
1
曲 面
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7-3-8
得方程 f(x2y2,z)0
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7-3-6
曲面及其方程
由上面的分析得： yO坐 z 标面上的已f知 (y,z曲 )线 0 绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f(x2y2, z)0 同理, yO坐 z 标面上的已f(知 y,z曲 )0线 绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f(y , x2z2 ) 0
其中a,b,c,e,f,g,l,m ,n ,q均为常数.
如 球面、某些柱面(圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等) 都是二次曲面.
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7-3-15
曲面及其方程
研究二次曲面的方法是采用截痕法. 即用 坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌.
在yO坐 z 标面上设有f曲 ( y,线 zz)： 0
任取曲面上M 的(x点, y,z), M1(0,y1,z1), f(y1,z1)0
d M 1(0,y1,z1)
M(x, y,z) C:f(y,z)0
(1) z1z
O
y
(2)点M到z轴的距d离 x2xy2| y1 | 将 z1 z, y1x2y2代入 f(y1,z1)0
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7-3-4
曲面及其方程
二、旋转曲面
1.定义 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转
一周所成的曲面, 称此曲面为旋转曲面.
此定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称母线. 轴
为方便, 常把曲线所在平面
取作坐标面, 旋转轴取作坐标轴.
母线
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7-3-5
曲面及其方程
2. 旋转曲面方程
§7.3 曲面及其方程
曲面方程的概念 旋转曲面 柱面 二次曲面 小结 思考题 作业
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7-3-1
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
F (x,y,z)0
定义 如果曲面S 与三元方程F (x,y,z)0z
有下述关系:
S
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
O
y
x
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
的直线 yx.
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7-3-13
曲面及其方程
总结：柱面的特征：
只 x ,y 而 含 z 的 缺 F 方 (x ,y ) 0 程 ,在空间 直角坐标系中表示平行于z轴的柱面, 其准线 为xOy面上的曲线C. （其他类推）
实
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面
母线平行于x轴
例
x2 a2
曲面(及2)其方y程O坐 z 标面上a的 y22椭 cz22 圆 1绕y轴和z轴;
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2c2 z2
1
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转x2 y2
a2
cz22
1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
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7-3-9
曲面及其方程