高中数学-等差数列练习
[A 基础达标]
1．在数列{a n }中，a 1＝15，3a n ＋1＝3a n －2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( )
A ．a 21和a 22
B ．a 22和a 23
C ．a 23和a 24
D ．a 24和a 25
解析：选C.因为a n ＋1＝a n －23，所以数列{a n }是等差数列，且公差为－23
， 所以a n ＝15＋(n －1)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23.因为a 23＝13，a 24＝－13，所以a 23a 24<0. 2．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使S n 取得最小值的正整数n 的值是( )
A ．4或5
B ．5或6
C ．6或7
D ．7或8
解析：选C.依题意得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．
3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 最大的n 的值为( )
A ．11或12
B ．12
C ．13
D ．12或13
解析：选D.因为a n ＝26－2n ，所以a n －a n －1＝－2，所以数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，所以S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522
＋6254.又n ∈N ＋，所以当n ＝12或13时，S n 最大．
4．数列{a n }满足：a 1＝0，a n ＋1＝
a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 018＝( ) A ．0
B ．－ 3 C. 3
D ．32 解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1，令n ＝1，得a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3；令n ＝2，得a 3＝a 2－33a 2＋1＝3；令n ＝3，得a 4＝
a 3－33a 3＋1＝0＝a 1，所以数列{a n }是周期为3的数列，所以a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝－3，故选B.
5．已知数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，则b 2 018＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选B.将数列1，1，2，3，5，8，13，…的每一项除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{b n }是周期为6的周期数列，所以b 2 018＝b 336×6＋2＝b 2＝1.故选B.
6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57
，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为________．
解析：由题意可知数列{a n }的首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57
(n －1)＝40－5n 7
，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取最大值时，n ＝7或8.
答案：7或8
7．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________．
解析：法一：S 9＝S 4，即9（a 1＋a 9）2＝4（a 1＋a 4）2
， 所以9a 5＝2(a 1＋a 4)，
即9(1＋4d )＝2(2＋3d )，
所以d ＝－16
， 由1－16(k －1)＋1＋3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－16＝0，得k ＝10. 法二：S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0，所以k ＝10. 答案：10
8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n ＝________．
解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105，即a 3＝35.
由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33.
所以d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，则a 1＝39.
所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （39＋41－2n ）2＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2
＋400. 所以当n ＝20时，S n 取最大值．
答案：20
9．在等差数列{a n }中，a 3＝2，3a 2＋2a 7＝0，其前n 项和为S n .求：
(1)等差数列{a n }的通项公式；
(2)S n ，n 为何值时，S n 最大．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
根据题意，得a 1＋2d ＝2，5a 1＋15d ＝0，
解得a 1＝6，d ＝－2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋8.
(2)由第一问可知S n ＝6n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋7n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722
＋494. 因为S 3＝－9＋21＝12，S 4＝－16＋28＝12，
所以当n ＝3或n ＝4时，S n 最大．
10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝31－3n ，求数列{|a n |}的前n 项和H n .
解：设{a n }的前n 项和为S n .
由a n ＝31－3n 可得S n ＝－32n 2＋592
n . 由a n ≥0，解出n ≤313
≈10.3. 当n ≤10时，H n ＝S n ＝－32n 2＋592
n ； 当n ≥11时，H n ＝2S 10－S n ＝32n 2－592
n ＋290. 所以H n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋592n ，n ≤10，32n 2
－592n ＋290，n ≥11. [B 能力提升]
11．设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，则前n 项和S n 中最大的是( )
A ．S 10
B ．S 11
C ．S 20
D ．S 21
解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，由3a 8＝5a 13，即3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，得a 1＝－392d >0，所以d <0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－392d ＋(n －1)d .由a n <0，得n >412
＝20.5，即从第21项开始为负数，故S 20最大．
12．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________．
解析：由题意可得a n ＋a n ＋1＝5，所以a n ＋1＋a n ＋2＝5.所以a n ＋2－a n ＝0.因为a 1＝2，所以a 2＝5－a 1＝3.所以当n 为偶数时，a n ＝3；当n 为奇数时，a n ＝2.所以a 18＝3.
答案：3
13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.
(1)求公差d 的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由． 解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ， 因为S 12>0，S 13<0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，
3＋d <0，
所以－247<d <－3.
(2)因为S 12>0，S 13<0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，
a 1＋a 13<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，
a 7<0，
所以a 6>0， 又由第一问知d <0.
所以数列前6项为正，从第7项起为负． 所以数列前6项和最大．
14．(选做题)在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18，其前n 项和为S n ，
(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值；
(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. 解：(1)因为a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18， 所以a 17＝－6.又a 9＝－18，所以d ＝a 17－a 917－9＝32. 首项a 1＝a 9－8d ＝－30.所以a n ＝32n －632. 若前n 项和S n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，
a n ＋1≥0
，
即⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－632≤0，
32（n ＋1）－632≥0，
所以
n ＝20或21. 这表明：当n ＝20或21时，S n 取最小值．最小值为S 20＝S 21＝－315.
(2)由a n ＝32n －632≤0⇒n ≤21.
所以当n ≤21时，T n ＝－S n ＝34(41n －n 2
)，
当n >21时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋…＋a n ＝S n －2S 21＝34(n 2
－41n )＋630.
故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧34（41n －n 2），n ≤21，
34（n 2
－41n ）＋630，n >21.。