第十二章 格和布尔代数12.1 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证：如果b a ，则)()(c a b c b a ∨∧∧∨证明因为b a ，且)(c a a ∨ ，所以)(c a b a ∨∧ 。

又因为b c b ∧，且c a c c b ∨∧ ，所以)(c a b c b ∨∧∧ 。

即)(c a b ∨∧是a 和c b ∧的上界，从而有：)()(c a b c b a ∨∧∧∨ 。

12.2 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证： （1）)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ （2）)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ (1)证明因为c a a b a a ∨∨ ,，所以)()(c a b a a ∨∧∨ 。

又因为b a b c b ∨∧ ，且c a c c b ∨∧ ，所以)()(c a b a c b ∨∧∨∧ 。

即)()(c a b a ∨∧∨是a 和c b ∧的上界。

所以，)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 。

（2）证明因为a b a ∧，a c a ∧，则有a c a b a )()(∧∨∧。

又因为b b a ∧，有c b b b a ∨∧ ，同理c b c a ∨∧ 。

从而有c b c a b a ∨∧∨∧ )()(。

即)()(c a b a ∧∨∧是a 和c b ∨的下界。

因此，)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ 。

10.3 设),,(∧∨A 是一个代数系统，其中∨和∧是满足吸收律的二元运算，证明：∨和∧也满足等幂律。

证明因为∨和∧是满足吸收律，所以a b a a =∨∧)(，a b a a =∧∨)(。

于是有：)((b a a a a a ∧∨∧=∧)(c a a ∨∧= （其中b a c ∧=） a =同理可证，a a a =∨。

故∨和∧也满足等幂律。

10.4 证明：一个格是可分配的，当且仅当对于这个格中的任意元素a ，b 和c ，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨证明（1）必要性因为a c a ∧和c b c b ∧∧ ，所以)()()(c b a c b c a ∧∨∧∨∧ 。

又因为格为分配格，所以)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨。

因此，)()(c b a c b a ∧∨∧∨ 。

（2）充分性因为对于c b a ,,∀，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨ ，则)()()(c c b a c b a ∧∧∨=∧∨ （等幂律）c c b a ∧∧∨=))(( （结合律） c c b a ∧∧∨))(( （假设） c a c b ∧∨∧=))(( （交换律） )()(c a c b ∧∨∧ （假设）又因为b a a ∨ ，c c ，所以c b a c a ∧∨∧)( ；同理，c b a c b ∧∨∧)( 因此，c b a c b c a ∧∨∧∨∧)()()( 综上所述，)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨ 故该格是可分配的。

10.5 证明一个格),( A 是分配的，当且仅当对A 中的任意元素a ，b 和c ，有)()()()()()(a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∧∨∧∨∧证明（1）必要性因为格),( A 是分配的，所以对于任意的A c b a ∈,,，我们有：)()()()()()()())(())(())()(())()(()()()(a c c b b a a c a b c b c a a c b c b a a c b b a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∨∧∨∧∨∧∨=∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∧∨∧∨∧=∧∨∧∨∧（2）充分性因为对于任意的A c b a ∈,,，我们有：)()()()()()(a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∧∨∧∨∧从而把上式中的c b a ,,分别代以)(,),()(c b a c a b a ∨∨∧∨得：)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨ )))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨=因为，)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨ )))()(()(())(()))(()((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨∧∨= )))()(()(())(())((c a b a c b c b a a b a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨∧∨= ))()()(()))(((c a b a c b c b a a ∨∧∨∧∨∨∨∧∨=))()())((c a b a c b a ∨∧∨∧∨∨= ))()()((a c c b b a a ∧∨∧∨∧∨= )()())((a c c b b a a ∧∨∧∨∧∨= )()(a c c b a ∧∨∧∨= )())((c b a c a ∧∨∧∨= )(c b a ∧∨=又因为)))()(()(())(()))()(((c a b a c b c b a a c a b a ∨∧∨∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨ )()()()()()(c b a c b a c b a c b a c a b a ∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨∨∧∨∧∨=)()()(c b a c a b a ∨∨∧∨∧∨= )))(()(()(b c a c a b a ∨∨∧∨∧∨= )()(c a b a ∨∧∨=因此，)()()(c a b a c b a ∨∧∨=∧∨。

由对偶定理知，)()()(c a b a c b a ∧∨∧=∨∧。

故),( A 是分配格。

12.6 一个格),( A 称为模格，如果对A 中任意的a ，b 和c ，有c b a c b a ∧∨=∧∨)()(，其中c a 。

证明一个格是模格，当且仅当下述条件成立)()())((c a b a c a b a ∨∧∨=∨∧∨证明（1）必要性由于),( A 是一个格，且对于A c b a ∈∀,,，都有)()())((c a b a c a b a ∨∧∨=∨∧∨。

因为c a 时，有c c a =∨，所以c b a c b a ∧∨=∧∨)()(。

故),( A 是模格。

（2）充分性若),( A 是模格，则对于A c b a ∈∀,,，当c a 时，有c b a c b a ∧∨=∧∨)()(。

因为c a a ∨ ，所以，在上式中将c 代以c a ∨得：)()())((c a b a c a b a ∨∧∨=∨∧∨。

12.7 证明，在一个布尔代数中，有b a b a a ∨=∧∨)(和b a b a a ∧=∨∧)(。

证明b a b a b a a a b a a ∨=∨∧=∨∧∨=∧∨)(0)()()( b a b a b a a a b a a ∧=∧∨=∧∨∧=∨∧)(0)()()(12.8 设),,,(∧∨A 是一个布尔代数，证明),(⊕A 是一个交换群。

其中⊕定义为：对于A b a ∈,有)()(b a b a b a ∧∨∧=⊕证明（1）封闭性对于A b a ∈∀,，由于,,∧∨这三个运算在A 上是封闭的，所以，A b a b a b a ∈∧∨∧=⊕)()(。

（2）结合律对于任意的A c b a ∈,,，有c b a b a c b a ⊕∧∨∧=⊕⊕))()(()())()(()))()(((c b a b a c b a b a ∧∧∨∧∨∧∧∨∧= )))()((()()(c b a b a c b a c b a ∧∨∧∨∨∧∧∨∧∧= )))()((()()(c b a b a c b a c b a ∧∧∨∧∨∧∧∨∧∧= )()()()(c b a c b a c b a c b a ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧=同理可得：)()()()()(c b a c b a c b a c b a c b a ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧=⊕⊕ 因此，c b a c b a ⊕⊕=⊕⊕)()(。

（3）幺元对于任意的A a ∈，我们有：a a a a a a =∨=∧∨=∧∨∧=⊕0)1(0)0()0(0 a a a a a a =∧=∨∧=∧∨∧=⊕10)1()0()0(0因此，0是A 中关于运算⊕的幺元。

（4）逆元对于任意的A a ∈，有000)()(=∨=∧∨∧=⊕a a a a a a 因此，a 的逆元为a 。

（5）交换律对于A b a ∈,，我们有a b a b a b b a b a b a ⊕=∧∨∧=∧∨∧=⊕)()()()(。

综上所述，),(⊕A 是一个交换群。

12.9 用哈斯图给出一个四个元的格，它是分配格，但不是有补格。

解哈斯图如图12.1)(a 所示：图12.1 习题9-10答图12.10 画两个五个元的格，一个是分配格，一个不是分配格，用哈斯图表示。

解图12.1)(b 所示为分配格； 图12.1)(c 所示不为分配格。

12.11 )1,0,,,(⋂⋃S 是一个分配格，令}|{'的补是x x S x A ∈=，证明A 是S 的子格。

证明由于0，1互为补元，所以A ∈1,0,故A 非空。

对于任意的A b a ∈,，存在S b a ∈','，使','b a 分别为b a ,的补元。

因为S 是一个有界分配格，有000)''()''()''()''()''()(=∨=∧∧∨∧∧=∧∧∨∧∧=∧∧∨b b a b a a b b a a b a b a b a111)''()''()''()''()''()(=∧=∨∨∧∨∨=∨∨∧∨∨=∧∨∧b b a b a a b b a a b a b a b a同理可证1)''()(=∧∨∨b a b a0)''()(=∨∧∧b a b a因此，b a b a ∧∨,均具有补元，从而A b a b a ∈∧∨,。

所以，A 是S 的子格。

12.12 }60,30,12,6,5,4,23,1{=A ，对于A y x ∈∀,，R y x ∈),(当且仅当y x |。

（1）画出),(R A 的哈斯图。