Dij＝
xk
(uiu juk
pu jik
pui jk
xk
uiu j )
ij
p( ui x j
u j xi
)
Gij
(uiuk
U j xk
u juk
Ui ) xk
ij
2 ui
xk
u j xk
耗散项
等式右边各项物理意义：
1、扩散项
脉动速度三阶关联和 压力脉动对应力的扩
分子扩 散作用
散作用
Dij＝
4、耗散项
ij
2 ui
xk
u j xk
耗散项由流体粘性系数和湍动速度梯度组成，主要起消耗湍流能量的
作用。此项与生成项控制着湍流运动的总体发展水平。体现了分子粘
性对湍流脉动的消耗作用，总是使雷诺应力减小。
由于以上四项除产生项之外均含有二阶或三阶相关 矩，必须引入适当的假设加以模拟后，才能使雷诺 应力输运方程封闭。
➢ 基于雷诺应力输运方程，包含雷诺应力发展过程，诸如流 线曲率、旋转系统等非局部性效应，因此，能较好的预测 复杂湍流；
➢ 雷诺应力的再分配项是关键； ➢ 近壁的雷诺应力耗散具有强各向异性，各向同性的耗散模
式有待改进； ➢ 扩散模型基本是合理的，但应当考虑非各向同性的扩散； ➢ 不足之处在近壁湍流、在强旋转湍流中尤为突出； ➢ 计算量很大，不便工程应用；
ij
C1
k
(uiu j
2 3
ij
k
)
C2
(Gij
1 3
ij
G)
模化后的标准雷诺应力微分方程
xk
(Uk uiu j )
xk
[Cs
k
uk ul
uiu j xl
C1
k
(uiu j
2 3
ij
k
)
C2 (Gij
2 3
ijG)
2 3
ij
Gij
]
➢由于雷诺应力是二阶对称张量，有6个独立分量，因而上式代表6个微分方程
谢谢
能的生成与耗散
(ij Gij ij ) (Gk )
对上式左端各张量做下标的缩并， 便得到右端。
Gij
ij
ij
uiu j k
(Gk
)
uiu j
k[
2 3
ij
(1
C2 )(Gij
2 3
ij Gk
) ]
Gk (C1 1)
ASM的评价
与k-ε模型相比： ASM用张量取代标量的黏性系数，更多的体现了各向异性的 影响 在有必要计及体积力效应(浮力、流线弯曲、旋转等)时， ASM往往能给出明显优于双方程模型的预测结果，ASM可能 是目前计算复杂紊流最广泛使用的模型。
ij 模拟思路：首先建立并求解脉动压力P的微分方程，再设
法研究影响 ij 的重要因素，进而对这些因素分别实行模化。
使雷诺应力在各分量之间进行再分配。
p( ui x j
u j xi
)
ij
ij1
ij 2
ijw
只含脉动量而与平均流参数无 关，所体现的湍流脉动场的作 用是使各个方向的雷诺应力趋 于相等，即趋于各向同性化。
两种近似方法：t
(uiu j )
xk
(Uk uiu j )
Dij
ij
Gij
ij
平衡近似：
t
(ui
u
j
)
0
xk
(U k uiu j ) Dij
0
湍流处于局部平衡，即雷诺应力的对流项和扩散项之差为零，从而略去应 力微分方程中的对流和扩散输运项，并认为应力生成和耗散达到局部的 平衡。
应力微分方程简化为： ij Gij ij 0
四、代数应力模型ASM
代数应力模型(ASM) 是一种忽略雷诺应力沿平均轨迹的变化和雷诺应 力扩散项的简化雷诺应力模型(RSM)。
它把各向异性融入到模型中，并把雷诺应力偏微分方程组变成代数方 程组，使得方程封闭。
引入原因： DSM计算量大，不便工程应用，保留DSM的优越性，降低计算成本。 基本思想： 设法消去方程中的对流项和扩散项。
最后得到描述雷诺应力的代数方程：
uiu j
k[
2 3
ij
(1 C2 )(Gij
2 3
ij
Gk
)
/
C1
]
t
(uiu j )
xk
(Uk uiu j )
Dij
ij
Gij
ij
t
(uiu
j
)
0
线性近似：
假定雷诺应力输运与湍能k的输运成正比，即假定雷诺应力的对流项和扩散项
之差正比于湍动能k的对流项和扩散项之差。可推知应力的生成与耗散正比于湍
2、压力应变项（雷诺应力再分配项）
ij
p( ui x j
u j ) xi
压力应变项由湍动压力和湍动应变组成，又称雷诺应力再分配项或重新 分配项。此项并不影响总的湍动能水平，其作用在于改变湍动能在各法 向应力分量中的分布，即在湍流脉动速度各个分量之间起调节作用。它 代表脉动压力与脉动应变率之间的关联。
雷诺应力模型
石明 12121409
一、问题的提出 二、雷诺应力输运方程的建立 三、未知关联项模型的建立 四、LRR模型和SSG模型 五、代数应力方程模型
一、问题的提出
➢ 利用黏性牛顿流体的各项同性的本构关系
式和湍流黏度 ut的概念来模拟雷诺应力有
悖于物理事实
➢ 涡黏度不能反映由于湍能在各主轴方向分 配所引起的雷诺应力的各向异性，因为其 忽略了压力应变项的效应
3、产生项
Gij
(uiuk
U j xk
u juk
Ui ) xk
代表雷诺应力与平均流梯度的相互作用，正是这种作用提供了雷诺应力的来源。 它是平均运动变形率和雷诺应力联合作用的结果。因此，此项表示由于平均运 动的变形率存在，把平均流场的能量提供给了湍流运动，维持了湍动运动的发 展。
耗散项 ij
xk
(uiu juk
pu jik
pui jk
xk
uiu j )
扩散项 Dij以散度形式出现，具有守恒性。它一般不改变系统内雷诺应力总量的
大小，而只改变其在系统内部的分布，使之趋于空间均匀。
包括三部分： 1）具有湍流扩散性质的湍流扩散项 2）由脉动压强和脉动速度关联产生的压力扩散项 3）由分子粘性产生的雷诺应力输运的粘性扩散项
2.耗散项
ij
2 ui
xk
u j xk
耗散主要决定于小尺度涡运动。理论和实验均已证明，在高雷
诺数条件下，小尺度涡团结构接近于各向同性，可忽略各项异
性的耗散，即湍流切应力趋向于零，而粘性作用只引起湍流正
应力即湍能的耗散。
(因为
k
1 2
uiu
j
)。这样，张量形式的耗散项
即简化为标量湍能耗散率
ij
aij，Sij和 wij 分别是雷诺应力各向异性张量、平均流应变率张量和旋转角速度 张量， S 是张量 Sij的迹数,对于不可压缩流体，迹数为零。
SSG模型中压力应变项的系数依赖于雷诺应力的变化 和湍能的产生，而雷诺应力的变化和湍能产生又与壁面作 用密切相关，因此SSG模型体现了壁面效应对雷诺应力分 布的影响。
➢涉及到温度或其他标量的分布问题，还需要1个平均温度方程、3个热 流通量方程，总共16个方程。
雷诺应力方程的适用范围
➢雷诺应力模型已广泛应用于均匀湍流、自由射流、边壁射流、尾流、 二维和三维管流等湍流中 ➢一般讲预测的平均流速分布和雷诺应力分布与实测值比较符合，尤 其是预测边壁射流中的边壁效应（包括曲率效应和二次流）更为有效 ➢但对轴对称射流和圆盘后尾流，预测的结果并不理想 ➢另外，在固体表面附近，由于分子粘性的作用，湍流脉动受到阻尼， 雷诺数很小，上述方程不再适用
U
j
乘以Ui的雷诺方程，U
i乘以U
的雷诺方程,
j
然后两者相加，得到U
iU
的输运方程
j
4、u%iu%j UiU j uiuj
,2、3两个方程相减，得到uiu
的输运方程
j
雷诺应力的 时间变化率
对流项
扩散项 压力应变项
t
(uiu j )
xk
(Uk uiu j )
Dij
ij
Gij
ij
等式右边各项具体表达式： 产生项
LRR模型
Rotta：ij1 各向同性化作用
雷诺应力的 各项异性部 分
ij1
C1
k
(uiu j
2 3
ij
k
)
1.5~3.0
使雷诺应力和湍能趋于各向同性
Naot：快速项 的模拟方案
ij 2
C2 (Gij
1 3
ij
G)
C2≤0.6
雷诺应力 的产生率
湍能产生率
体现出压力应变相关项使雷诺应 力的产生率趋于各向同性的特征
➢方程中含有湍流参数 k和 ，k由雷诺应力中的3个正应力分量相加得到，
➢ 需求解输运方程。
➢RSM中 方程与双方程中的 方程形式上略有不同，在应力模型中不存在湍流
黏性系数的概念，其经验取值也略有不同。
LRR模型的评价： ➢对于可以忽略壁面影响的湍流系统，目前应用最多的一种雷诺 应力模型
➢在LRR模型中，把 i与j 雷诺应力间复杂的非线性关系简化为线
三、雷诺应力模型的建立
1.扩散项
高雷诺数下，该 项可忽略不计
Dij＝
xk
(uiu juk
pu jik
pui jk
xk
uiu j )
Launder 通用梯度扩散模型