Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
1
0 0
而平面应力问题的弹性矩阵为
0
0
1 2
21
D=
E 1-μ 2
1 μ
0
μ 1 0
μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3y
Y
ν3
节点3(x3,y3)
μ3
ν=ν(x,y)=α4+α5x+α6y
将三个节点的位移代入，整理得
α1=
1 2A
u1 u2
x1 x2
y1 y2
u 3 x3 y3
ν1
μ1
ν2
节点1(x1,y1)
μ2 节点2(x2,y2)
O
X
图3 三节点三角形单元
1
α2=
1 2A
1
u1 u2
y1 y2
1 u3 y3
1
α3=
11 2A
x1 x2
u1 u2
1 x3 u3
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α4=
1 2A
(ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3)
α5=
1 2A
(b1v1+b2v2+b3v3)
α6=
2
1 A
(c1v1+c2v2+c3v3)
其中
1
A=
1 2
1
x1 x2
y1 y2
1 x3 y3
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单元应力 σ=Dε=DBqe
⑶单元分析 单元刚度矩阵 根据虚位移原理，可得单元刚度方程 Fe=Keqe 其中单元刚度矩阵为
Ke=
BT DBt dx dy
A
对于三节点等厚三角形单元，B、D均为常数矩阵，则单元刚度矩阵可表示为
Ke=BTDBtA 3、非节点载荷移置
d=[μ ν]T
它们仅为x、y的函数而与z无关。
2、平面应变问题 满足以下两个条件的弹性力学问题为平面应变问题。
(1)结构是长柱体，横截面沿长度方向不变；
（2）载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布、两端不受力。
结论：结构不能发生沿Z轴方向的位移，则有
Z
ω=0 μ=μ(x,y) ν=ν(x,y)
O
t
X
有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处 受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。
⑴集中力的移置 单元内任意一点作用集中力
P=[Px Py]T
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根据虚位移原理，可得移置到节点后的载荷 Y
R3Y
Re=NTP 此处的N为载荷作用点的形函数值。
y
{1 T2 T3 T4 T5 T}T
4
5
其中： iT { ii}(i, 1 、 2 5 ）
④
3
②
③
①
12Βιβλιοθήκη 对每个单元写出相应的单元刚度方程，对于 o
x
①号单元，有
图5 四个单元的模型
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FF12((11)) K K12((1111)) F3(1) K3(11)
3
R1Y 1
Py R1X
R3X P
Px
R2Y
2
R2X
虚功原理如下：
O
X
图4 集中力作用的单元
= 单元原载荷在虚位移上做的虚功 移置后节点载荷在相应虚位移
上做的虚功。
⑵体力的移置
单元所受的均匀分布体力为PV=[X Y]T，则由虚功原理得
Re= NTPVtdxdy
⑶面力的移置
在单元的边上分布有单位面积上的面力PS=[ X Y ]T，则由虚功原理得
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一、平面问题的定义
1、平面应力问题
平面应力问题满足以下两个条件。
(1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板；
(2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在
两板面上无外力作用。
Y
结论：板面不受力，则有
σZ Z= + t/2 =0
τYZ Z= + t/2 =0
有限元分析——平面问题
平面问题的有限元法
2014.09.16
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目录
一、平面问题的定义
1、平面应力问题 2、平面应变问题
二、平面问题有限元法
1、结构离散 2、三角形单元分析 3、整体分析 总体刚度矩阵 4、非节点载荷移置 5、边界条件处理 求解
三、简单算例
N=
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0 0 N3
其中
Ni=
2
1 A
(ɑi +bix
+
ciy)
，i=1、2、3。
⑵单元的应变与应力
单元应变
ε=B qe
式中应变矩阵B为
B= 21Ab01
0 c1
b2 0
0 c2
b3 0
0 c3
c1 b1 c2 b2 c3 b3
节点位移列阵qe
qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
K(1) 12
K(1) 22
K(1) 32
K K12((1133))12 K3(13)3
为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即
FFF132(((111)))
0
0
1-μ
2
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1、结构离散 结构离散化过程：
二、平面问题有限元法
连续体结构
平面问题用 二维区域表 示
有限单元的结合体
可用不同形状 的单元，此处 用三角形单元
代替原连续体
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离 散
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2、三角形单元分析
⑴单元位移模式 形函数 根据位移函数选择方法，三节点三角形单元的位移函数