极坐标系与参数方程♦知识梳理 、极坐标在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ；（2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。

2、直线的极坐标方程（1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ；（2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程1、极坐标定义：M 是平面上一点,表示0M 的长度,是MOx ，则有序实数实数对（,）,叫极径，叫极角；一般地,2、极坐标和直角坐标互化公式:COS2 2 x 2y sin或t tany （x 0）的象限由点（x, y ）所[0,2 ）， 0x y第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换知识点】点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。

称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。

若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程；(II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.练习:定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x' x( y' y(00))的作用下，在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有:即有:x x h， y y k在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y)xh x h 所确定的变换是一个平移变换。

yk1 •将点P( 2,2)变换为点P ( 6,1)所用的伸缩变换公式是x' 4x3得到的曲线C'的方程为y' y2x COS14.已知曲线G :(为参数).若把曲线G 上各点的横坐标压缩为原来的-，纵坐标y sin2压缩为原来的V 3，得到曲线C 2，则曲线C 2的参数方程为，普通方程为2A. x 13xB. xy 2y y2x 3yC.y3x3x 2y2•在同一直角坐标系中，将直线 换公式是 _______________ .x 2y 2变成直线2x' y' 4，则满足图象变换的伸缩变3.在平面直角坐标系中将曲线C:x 2 y 2 1按照变换2 2 2X COSx y【知识点】或幼 、， 的象限由点（x,y ）所在象限确定. y sintan 丄（x 0）X练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标 (1)(3,—)2； (2)(2,—) 37（3）（4,；）24（4） .3 (2,)-；（3 4 5 6C ，3,）6；（6） (1,—) ；4练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标（1）(3^,3) ；⑵（0,遁）； （3） 1（°,二）2（4）(3,0) ；（5）（3, .3） ； (6)( 2, 2 3)考点二 二曲线的极 坐标方程与直角坐标方程的互化练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程(1) cos 2 sin 10 : ________________________ ；3(2)4 cos(—) 3 0:4(x 0)练习二：把下列曲线的 直角坐标方程化为极坐标方程:(1)x y 20:； (2) <3x y1:3 4sin(—)： ________________________________442si n : __________________________________ ； 5 4cos 2si n : _______________________________ 6 4cos : ________________________________ ；(9)_ : ；（8）射线3 4412；(10)23cos 2 4si n 2极：直线或射线直：y kxkx⑺直线 22 21 cos(或 y kx ( x 0 )或 y(3) 2x 2 ’4y 1:；(4) 3x 2 2y 2 6: (5) x 2y 26x 0:；(6) (x 3)22y4 :高考再现1. （2013年高考辽宁卷（文））在直角坐标系xoy 中以0为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别4sin , cos2.2.4（I ）求G 与C 2交点的极坐标；（II ）设P 为0的圆心，Q 为^与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为x t 3 ab3 t R 为参数，求a,b 的值. y t 3 122. （ 2014年高考广东卷（文））在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为 2 cos 2sin 与cos 1。

以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C 1与C 2交点的直角坐标为 ________ .n n3. （2014年高考陕西卷（文））在极坐标系中，点2,石到直线p sin 0 -6 = 1的距离是4. (2015年高考湖南卷(文))在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为________第三节参数方程与普通方程互化【知识点】常见曲线的参数方程把参数方程化为普通方程的常用方法：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数;7(7)(1) C:5 2t1 2t (t :参数)，C: (2) C:1 h2(t 为参数)C:仝t 2C :y51 3t5x 2 、3cosC:y 3 . 3sinC : x 2cost (■- 3 si ntyx 5cos ( C:y 4si nC : x 2p ( py 2pC:（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数，如平方关系 sin 2 cos 2 1 ;（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

练习一：把下列曲线的直角坐标（普通）方程化为参数坐标方程2C:二 252C:L(1)(2) (3) C:(x2y 16 2y 42)2 C:(y 1)2 4，C:(4) C: x 2 4x 2y 11 0，C:(5)C: x 2 4y0，C:(6)直线I 的倾斜角为3 ，且过点P （ 4,2），则I : 4 (7) 直线1过点M （4, 1），倾斜角为2，则1 :练习二：把下列参数方程化为直角坐标方程（普通方程 ） x（t :参数），C(3) （:参数）， (4) (5) (6) t :参数），C ::参数），C: :参数），C :24t（8） C ： x 旳门 4cos （:参数），C: ______________________________ ;y 4sin 3cos♦高考再现1 . （2013年高考广东卷（文））已知曲线C 的极坐标方程为2cos .以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程 _____________ 。

x 2s 12 . （2013年高考湖南（文11））在平面直角坐标系xoy 中,若直线h :'（s 为参数）y s和直线12: x at, （t 为参数）平行,则常数a 的值为 ___________y 2t 13-（2013年高考陕西卷（文15））圆锥曲线；2；（t为参数）的焦点坐标是——普通方程为_________ .x 4 5cost5. （2013年高考课标I 卷（文）） 已知曲线C 1的参数方程为'（t 为参数）,以y 5 5sin t坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2s in（I ）把G 的参数方程化为极坐标方程 ;（II ）求1与C 2交点的极坐标（0,0 2 ）.6. （2014年高考新课标卷2 （文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴n为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ，庚0,.（I ）求C 的参数方程;4. （2014年高考湖南卷（文））在平面直角坐标系中，曲线 C :（t 为参数）的y = 1 +(II )设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线I : y = ,3x + 2垂直，根据 ⑴中你得到的参 数方程，确定D 的坐标.7. (2015年高考广东卷(文))在平面直角坐标系x y 中，以原点轴为极轴建立极坐标系.曲线^的极坐标方程为cos sin第四节极坐标和参数方程的综合应用考点一：曲线上的动点到直线距离的最值问题 常用参数方程和三角恒等变换的知识解决。

步骤：(1) 利用曲线的参数方程把曲线上的动点 P 的坐标设出来； (2)利用点到直线的距离公式求出曲线上的动点 P到直线I 的距离d ;(3) 利用辅助角公式as in x bcos x Ta 2~ si n( x )(其中tan -)，把第(2) a步求出的距离d 的右边化为d |Asin( x 一LAJ ( t 0 )的模式。

(4) 利用三角函数的有界性求出距离 d 的最值。

【典例1】在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为x -'3cos ,(为参数)，在以原 y sin 点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2的极坐标方程为 sin( -) 4门4(I )求曲线G 的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；为极点，x 轴的正半 2，曲线C 2的参数方程t 22 2t(t 为参数)，则G 与C2交点的直角坐标为2 3sin11 / 16（II ）设P 为曲线C i 上的动点，求点P 到C 2的距离的最小值，并求此时点P 的坐标（I ）写出曲线C 的参数方程、直线I 的普通方程;（II ）过曲线C 上任意一点P 作与I 夹角为30°的直线，交I 于点A ,求|RA|的最大值与最 小值.2. （2015年高考陕西卷（文））在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，eC 的极坐标方程为变式：若把曲线C i 的参数方程改为x 3cos y 3si n（为参数），设P 为曲线C i 上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值。