成都七中2019届新高三零诊模拟考数学（理科）一、单选题1.设全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则A B ⋂=（ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．{|02}x x << 2.若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i --3.函数()f x =的单调递增区间是（ ）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．[4,)+∞ 4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值为（ ）A ．15B ．37C ．83D ．1775.已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝6.已知1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（ ）A ．14 B ．14- C ．18 D ．18- 8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89.已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，则sin 2α=（ ） A ．5665 B ．5665- C ．6556 D ．6556-10.若函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 为（ ） A ．2或6 B ．2 C ．6 D ．-2或-611.在ABC ∆中，()3sin sin 2B C A -+=，AC =，则角C =（ ） A ．2π B ．3π C ．6π或3π D ．6π 12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1ln '()()x f x f x x⋅<-，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)(0,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(,2)(0,2)-∞-二、填空题 13.计算1(1)x dx -+=⎰．14.已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>，A ，B 是函数()y f x =图象上相邻的最高点和最低点，若AB =(1)f = ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则双曲线的方程是 ．16.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，2AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 ．三、解答题17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2） 设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA PB AB ===，点N 为AB 的中点.（1）证明：AB PC ⊥；（2）若点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面角M NC P --的余弦值. 19.十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500,3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A .所有蜜柚均以40元/千克收购；B .低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(,0)a -，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=，求0y 的值. 21.已知22()2ln a f x x ax x =-+.（1）当01a <<时，求证：()02af >； （2）若()f x 有三个零点时，求a 的范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求PA PB +的最小值.成都七中2019届新高三零诊模拟考数学（理科）答案一、选择题1-5: CDDBB 6-10: CACBC 11、12：DD 二、填空题13. 12 14. 1 15.221520x y -= 16. 214 三、解答题17.【解】（1）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+， 两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，∵0n a >，∴12n n a a +-=，∵2111243a a a +=+，∴11a =-（舍）或13a =， 则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列， ∴{}n a 的通项公式32(1)21n a n n =+-=+； （2）∵21n a n =+，∴111(21)(23)n n n b a a n n +==++111()22123n n =-++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111()235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()23233(23)n n n =-=++. 18.【解】（1）连接AC ，因为AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为正三角形，又点N 为AB 的中点，所以AB NC ⊥.又因为PA PB =，N 为AB 的中点，所以AB PN ⊥. 又NCPN N =，所以AB ⊥平面PNC ，又PC ⊂平面PNC ，所以AB PC ⊥.（2）由（1）知PN A B ⊥.又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，所以PN ⊥平面ABCD ，以N 为坐标原点，分别以NB ，NC ，NP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)B，C ，(0,0,0)N，P，(D -，(1,22M -， 设平面MNC 的一个法向量为(,,)n x y z =，可得00n NC n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3,0,12n ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知AB ⊥平面PNC ，则取平面PNC 的一个法向量(1,0,0)m =，21cos ,7m n m n m n⋅<>==M NC P --的余弦值为7.19.【解】（1）由题得蜜柚质量在[1750,2000)和[2000,2250)的比例为2:3，∴分别抽取2个和3个.记抽取质量在[1750,2000)的蜜柚为1A ，2A ，质量在[2000,2250)的蜜柚为1B ，2B ，3B ， 则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B ，其中质量小于2000克的仅有12A A 这1种情况，故所求概率为110. （2）方案A 好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1500,1750)的频率为2500.00040.1⨯=，同理，蜜柚质量在[1750,2000)，[2000,2250)，[2250,2500)，[2500,2750)，[2750,3000]的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案A 收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为1500175017502000(50050022++⨯+⨯200022507502++⨯22502500250027502000100022+++⨯+⨯27503000250)4010002++⨯⨯÷250250[(67)2(78)22=⨯⨯+⨯++⨯(89)3(910)8(1011)4++⨯++⨯++⨯(1112)1]401000++⨯⨯÷2550[2630511528423]=⨯+++++457500=（元），若按方案B 收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为(0.10.10.3)50001750++⨯=， 蜜柚质量低于2250克的个数为500017503250-=，∴收益为175060325080⨯+⨯25020[73134]365000=⨯⨯⨯+⨯=元， ∴方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A . 20.解：（1）由c e a ==2234a c =，再由222c a b =-，得2a b =， 由题意可知，12242a b ⨯⨯=，即2ab =. 解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩得2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=. （2）由（1）可知(2,0)A -.设B 点的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(2)y k x =+，于是A ，B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 由方程组消去y 整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=，由212164214k x k --=+，得2122814k x k -=+，从而12414k y k =+. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为22282(,)1414k k k k-++. 以下分两种情况：（1）当0k =时，点B 的坐标为(2,0).线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是0(2,)QA y =--，0(2,)QB y =-，由4QA QB ⋅=，得0y =±（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为222218()1414k k y x k k k -=-+++. 令0x =，解得02614ky k =-+.由0(2,)QA y =--，110(,)QB x y y =-，10102()QA QB x y y y ⋅=---222222(28)646()14141414k k k kk k k k --=++++++ 42224(16151)4(14)k k k +-==+.整理得272k =，故7k =±05y =±综上0y =±05y =±21.（1）证明：22()2ln 2222a a a a f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭， 令2a t =，32()2ln 2()2a f t t g t t =-+=，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 2222221'()6(1)60g t t t t t t t=--=--<， ()g t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，1111()()2ln 442ln 202244g t g >=-+=-->，所以原命题成立.（2）由22()2ln a f x x ax x =-+222ln (0)a x ax x x=-+>有三个零点可得 ()ln (0)ah x x ax x x=-+>有三个零点，22'()(0)ax x ah x x x-+-=>， ①当0a ≤时，'()0h x >恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意；②当12a ≥时，'()0h x ≤恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意； ③当102a <<时，记2()(0)x ax x a x ϕ=-+->得两个零点为1x ，2x ，不妨设120x x <<，且121x x ⋅=，1(0,)x x ∈时，'()0h x <；12(,)x x x ∈时，'()0h x >；2(,)x x ∈+∞时'()0h x <，观察可得(1)0h =，且121x x <<，当12(,)x x x ∈时，'()0h x >；()h x 单调递增， 所以有12()(1)()h x h h x <<，即12()0()h x h x <<，1(0,)x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞时'()0h x <，()h x 单调递减，由（1）知，0h >，且1()0h x <，所以()h x 在1x ⎫⎪⎪⎭上有一个零点， 由lim ()x h x →+∞→-∞，且2()0h x >，所以()h x 在2(,)x +∞上有一个零点，综上可知()ln (0)ah x x ax x x =-+>有三个零点， 即22222()2ln ln (0)a a f x x ax x ax x x x=-+=-+>有三个零点，所求a 的范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.【解】（1）由6cos ρθ=，得26cos ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y x +=，即22(3)9x y -+=.（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得2(2sin 2cos )70t t αα+--=， 因为0∆>，可设1t ，2t 是上述方程的两根，所以122(cos sin )t t αα+=-，127t t =-， 又因为(2,1)为直线所过定点， ∴1212PA PB t t t t +=+=-==+的最小值为所以PA PB。