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四川省成都市第七中学2019届高中毕业班零诊模拟考试数学(文)试题 含答案

成都七中高2019届零诊模拟考试数学试题(文科)一、单选题(每小题5分,共60分)1.设全集为R ,集合{|02}A x x =<<,{|1}B x x =≥,则A B ⋂=( )A .{|01}x x <≤B .{|01}x x <<C .{|12}x x ≤<D .{|02}x x << 2.若复数z 满足(12)1i z i +=-,则复数z 为( ) A .1355i + B .1355i -+ C .1355i - D .1355i -- 3.函数2()28f x x x =--的单调递增区间是( )A .(,2]-∞-B .(,1]-∞C .[1,)+∞D .[4,)+∞ 4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的S 值为( )A .15B .37C .83D .1775.已知命题p :x R ∀∈,23xx<;命题q :x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝6.已知1F 、2F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,若12PF F ∆的面积为9,则b 的值为( )A .1B .2C .3D .47.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中,44a =,则当262a a +取得最小值时,2log q =( )A .14 B .14- C .18 D .18- 8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A .2B .4C .6D .89.已知324πβαπ<<<,12cos()13αβ-=,3sin()5αβ+=-,则sin 2α=( ) A .5665 B .5665- C .6556 D .6556-10.若函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 为( ) A .2或6 B .2 C .6 D .-2或-611.在ABC ∆中,()3sin sin 2B C A -+=,3AC =,则角C =( ) A .2π B .3π C .6π或3π D .6π12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数,当0x >时,1ln '()()x f x f x x⋅<-,则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是( ) A .(2,0)(0,2)- B .(,2)(2,)-∞-+∞ C .(2,0)(2,)-+∞ D .(,2)(0,2)-∞-二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知函数22()log ()f x x a =+,若(3)1f =,则a = .14.已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>,A ,B 是函数()y f x =图象上相邻的最高点和最低点,若25AB =(1)f = .15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是2y x =,它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同,则双曲线的方程是 .16.如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,120BAD ∠=︒,2AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ⋅的最小值为 .三、解答题(17-21题每小题12分,22题10分,共70分)17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知0n a >,2243n n n a a S +=+.(1)求{}n a 的通项公式; (2) 设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和. 18.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,60ABC ∠=︒,2PA PB AB ===,点N 为AB 的中点.(1)证明:AB PC ⊥;(2)若点M 为线段PD 的中点,平面PAB ⊥平面ABCD ,求点D 到平面MNC 的距离. 19.十九大报告提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚,并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分布在区间[1500,3000]内(单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000),[2000,2250)的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽2个,求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:A .所有蜜柚均以40元/千克收购;B .低于2250克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ,B ,已知点A 的坐标为(,0)a -,点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上,且4QA QB ⋅=,求0y 的值. 21.已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---(a 为常数). (1)当1a =时,求()f x 的单调区间;(2)若函数()y f x =,1(0,)2x ∈的图象与x 轴无交点,求实数a 的最小值. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为6cos ρθ=.(1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B ,若点P 的坐标为(2,1),求PA PB +的最小值.成都七中高2019届零诊模拟考试数学试题(文科)答案一、选择题1-5: CDDBB 6-10: CACBC 11、12:DD 二、填空题13. -7 14. 1 15.221520x y -= 16. 214三、解答题17.【解】(1)由2243n n n a a S +=+,可知2111243n n n a a S ++++=+, 两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=,即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-,∵0n a >,∴12n n a a +-=, ∵2111243a a a +=+,∴11a =-(舍)或13a =,则{}n a 是首项为3,公差2d =的等差数列, ∴{}n a 的通项公式32(1)21n a n n =+-=+; (2)∵21n a n =+,∴111(21)(23)n n n b a a n n +==++111()22123n n =-++, ∴数列{}n b 的前n 项和1111111()235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()23233(23)n n n =-=++. 18.【解】(1)连接AC ,因为AB BC =,60ABC ∠=︒,所以ABC ∆为正三角形, 又点N 为AB 的中点,所以AB NC ⊥.又因为PA PB =,N 为AB 的中点,所以AB PN ⊥. 又NCPN N =,所以AB ⊥平面PNC ,又PC ⊂平面PNC ,所以AB PC ⊥. (2)由(1)知PN AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABCD ,交线为AB ,所以PN ⊥平面ABCD ,由M NCD D MCN V V --=.1132M NCD V -==,13D MCN MNC V S h -∆=⋅,4MNC S ∆=,由等体积法知得7h =. 19.【解】(1)由题得蜜柚质量在[1750,2000)和[2000,2250)的比例为2:3,∴分别抽取2个和3个.记抽取质量在[1750,2000)的蜜柚为1A ,2A ,质量在[2000,2250)的蜜柚为1B ,2B ,3B , 则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种:12A A ,11A B ,12A B ,13A B ,21A B ,22A B ,23A B ,12B B ,13B B ,23B B ,其中质量小于2000克的仅有12A A 这1种情况,故所求概率为110. (2)方案A 好,理由如下:由频率分布直方图可知,蜜柚质量在[1500,1750)的频率为2500.00040.1⨯=,同理,蜜柚质量在[1750,2000),[2000,2250),[2250,2500),[2500,2750),[2750,3000]的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05,若按方案A 收购:根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2000,1000,250, 于是总收益为1500175017502000(50050022++⨯+⨯200022507502++⨯22502500250027502000100022+++⨯+⨯27503000250)4010002++⨯⨯÷250250[(67)2(78)22=⨯⨯+⨯++⨯(89)3(910)8(1011)4++⨯++⨯++⨯(1112)1]401000++⨯⨯÷2550[2630511528423]=⨯+++++457500=(元),若按方案B 收购:∵蜜柚质量低于2250克的个数为(0.10.10.3)50001750++⨯=, 蜜柚质量低于2250克的个数为500017503250-=,∴收益为175060325080⨯+⨯25020[73134]365000=⨯⨯⨯+⨯=元, ∴方案A 的收益比方案B 的收益高,应该选择方案A . 20.解:(1)由c e a ==2234a c =,再由222c a b =-,得2a b =, 由题意可知,12242a b ⨯⨯=,即2ab =. 解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩得2a =,1b =,所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)由(1)可知(2,0)A -.设B 点的坐标为11(,)x y ,直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =+,于是A ,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,由方程组消去y 整理,得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=,由212164214k x k --=+,得2122814k x k -=+,从而12414ky k =+. 设线段AB 的中点为M ,则M 的坐标为22282(,)1414k kk k-++. 以下分两种情况:(1)当0k =时,点B 的坐标为(2,0).线段AB 的垂直平分线为y 轴,于是0(2,)QA y =--,0(2,)QB y =-,由4QA QB ⋅=,得0y =±.(2)当0k ≠时,线段AB 的垂直平分线方程为222218()1414k k y x k k k -=-+++. 令0x =,解得02614ky k=-+. 由0(2,)QA y =--,110(,)QB x y y =-,10102()QA QB x y y y ⋅=---222222(28)646()14141414k k k kk k k k --=++++++42224(16151)4(14)k k k +-==+.整理得272k =,故7k =±05y =±.综上0y =±05y =±. 21.【解】(1)1a =时,()2ln 1f x x x =--,()2'1f x x=-, 由()'0f x >得2x >;()'0f x <得02x <<. 故()f x 的减区间为()0,2,增区间为()2,+∞.(2)因为0x +→时,(2)(1)2a x a --→-,同时2ln x -→+∞, 因此0x +→时,()f x →+∞,故要使函数()f x 图象与x 轴在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上无交点, 只有对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0f x >成立, 即10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2ln 21x a x >--.令()2ln 21x l x x =--,10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()()222ln 2'1x x l x x +-=-,再令()22ln 2m x x x =+-,10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ()()221'0x m x x --=<,于是在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上()m x 为减函数, 故()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭,∴()'0l x >在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立, ∴()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数,∴()12l x l ⎛⎫<⎪⎝⎭在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立, 又124ln 22l ⎛⎫=-⎪⎝⎭,故要使ln 21x a x >--恒成立,只要[24ln 2,)a ∈-+∞, 所以实数a 的最小值为24ln 2-.22.【解】(1)由6cos ρθ=,得26cos ρρθ=,化为直角坐标方程为226x y x +=, 即22(3)9x y -+=.(2)将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程,得2(2sin 2cos )70t t αα+--=, 因为0∆>,可设1t ,2t 是上述方程的两根,所以122(cos sin )t t αα+=-,127t t =-, 又因为(2,1)为直线所过定点, ∴1212PA PB t t t t +=+=-==≥=所以PA PB +的最小值为。

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