理科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1．(2i)(1i)(2)(2)i(1i)(1i)2a a a +-++-=+-，故选B ．2．(3)(2)A B =-+∞=+∞，，，，故选D ． 3．sin y x x =为偶函数，当0πx <<时，sin 0x >，故选A ．4．如图1，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D，当点P 位于线段AD 上时，0GP AP <；当点P 位于线段DC 上时，0GP AP >，故当GP AP 取得最小值时，点P 在线段AD 上，||||||(3||)GP AP AP DP AP AP =-=--，当3||AP =时，取得最小值34-，故选C ． 5．一方面，由2||2||OF OH =，得211||||22OH OF c ==，故2||F H ==；另一方面，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故2||F H b ==b =，即222234c b c a ==-，故2214a c =，得2ce a ==，故选A ．．设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3，4，5，则345A A A A =，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有345()()()()P A P A P A P A =++=11111171112222228⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D ． 图1理科数学参考答案·第2页（共8页）9．如图2，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B D C -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，设11AA =，则由题意知11cos 5AC D ∠==，故选A ．()1f x >，当0x =时，(0)1f =，即当0x ≥时，()10f x >≥；当0x <时，0x ->，则()0f x ->，由题意得()()()f x x f x f x -=-，则(0)1()0()()f f x f x f x ==>--，故②成立；对任意的12x x ∈，R ，不妨设12x x >，故存在正数z 使得12x x z =+，则12222()()()()()()f x f x f xzf x f x f z -=+-=22()()(()1)f x f x f z -=-，因为当0x >时，()1f x >，所以()10f z ->，因为对任意的x ∈R ，有()0f x >，所以2()0f x >，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 是R 上的增函数，故③错误，故选C ．12．如图4，设内切圆的圆心为H ，连接2AH BH F H ，，，设内切圆的半径为r ，则2212||||||||||AB AF BF AF AF ++=++12||||48BF BF a +==，2221(||2ABF ABH AHF BHF S S S S AB =++=+△△△△22||||)4AF BF r r +⨯=，即24ABF S r =△，当2ABF △的面积最大时，内切圆的半径r 最大，由题意知，直线不会与x 轴重合，可设直线AB ：1my x =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得图2图4图3理科数学参考答案·第3页（共8页）22(34)690m y my +--=，2212(1)m ∆=+，2121212111||||22ABF AF F BF F SS S F F y =+=+△△△ 12212121212111||||||(||||)||||2222F F y F F y y F F y y =+=-=⨯=12==1t ≥，则13t t =+=()f t ，当1t ≥时，函数()f t 单调递增，所以()(1)4f t f =≥，当()f t 取得最小值4时，2ABF S △取得最大值3，此时34r =，所以内切圆的面积的最大值为9π16，故选B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．21e 2xy'=，则012x y ='=，故12y x =．14．可行域如图5，根据图形可得263z -≤≤．15．由题意得sin cos sin cos αααα+=，两边同时平方得212sin cos (sin cos )αααα+=，即2sin 24sin240αα=--，解得sin22(1α=或sin21α=>舍去． 16．如图6，在正三棱锥P ABC -中，D 为BC 的中点，E 为ABC △的中心，PA PB PC ==，由余弦定理可得2222cos AB PA PB PA PB APB =+-∠，解得PA =PA PB PC ===ABC △中，3AD =，则 2AE =，在PAE △中，2PE ，则A E B EC E ===2PE =，故E 为球心，球的半径2r =，所以球的表面积为24π16πr =．图5图6理科数学参考答案·第4页（共8页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（1）解：由题知当1n =时，1131222a S ==+=； 当2n ≥时，2213131(1)(1)312222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以31n a n =-． ……………………………………………………………………（3分） 设{}n b 的公比为q ，则2111322b b q b q =+=，，解得12q =或32q =-（舍去）， 所以1211222n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）得2312n n n c --=，则1012258312222nn n T ---=++++， 两边同乘12，得012112583122222n n n T --=++++， ……………………………（8分） 上面两式相减，得101211112333316311022222222n n n n n n n T -------=++++-=--， 所以235202n n n T -+=-． ………………………………………………………………（10分） 因为23502n n -+>，所以20n T <． ……………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由表一得3456 2.534 4.54.5 3.544x y ++++++====，， 422221345ii x==++∑2686+=， …………………………………………………………（2分）∴23 2.543546 4.54 4.5 3.566.5630.7864 4.55b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===-⨯， …………………（4分） ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=， 所以所求线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+． ………………………………………（6分） （2）当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=， 从而能够节省6.5 5.25 1.25-=吨原材料． ………………………………………（8分）理科数学参考答案·第5页（共8页）（3）由表二得22200(90158510)82.706100100175257K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ……………………（10分）因此，没有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”．………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AC BC PC ===，AB PA PB === 则222AC PC AP +=，222BC PC BP +=， 所以PC AC ⊥，PC BC ⊥，………………………………………（2分）又因为ACBC C =，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥平面ABC ． ………………………………………（4分）（2）解：222AC BC BA +=，则AC BC ⊥，即AC ，BC ，PC 两两垂直，如图7，建立空间直角坐标系，则(200)A ，，， (002)P ，，，(020)B ，，，设(00)(02)D a a ∈，，，，，则PA =(202)-，，，PB = (022)-，，，(02)PD a =-，，， ……………………（6分） 平面PBC 的法向量1u =(100)，，， 设平面PBD 的法向量2()u x y z =，，，则22020y z ax z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =，可得2211u a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，． 1212cos30||||u u u u ︒=，解得a =， ……………………………………（8分）则602PD ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，平面PAB 的法向量3(111)u =，，， ………………………（10分） 设PD与平面PAB 的所成角为θ，则33||14sin 7||||PD u PD u θ==-， . ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：设点001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，， 则204x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12012022x x xy y y +=+=，，由24x y =，得214y x =， 图7理科数学参考答案·第6页（共8页）故12y x '=，即抛物线C 在点P 处的切线的斜率为0012P x x k y x ='==． ………………………………………………………………………………（2分）又直线l 的斜率22120012121212244442ABx x x x y y x x k x x x x --+=====--，即AB P k k =， 所以直线l 平行于抛物线C 在点P 处的切线． ………………………………………（4分）（2）解：由||0PM a =>，得204x M x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，于是直线2000()42x x l y a x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭：，即2200000()2424x x x x l y x x a x a ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭：．………………………………………………………………………………（6分）联立直线l 与抛物线C 得2200424x y x x y x a ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，，消去y 得2200240x x x x a -+-=， ∴222120120002444(4)160x x x x x x a x x a a +==-∆=--=>，，，………………………………………………………………………………（8分）∴12111||||2222PAB S PM x x a =-=⨯=△ 故PAB △的面积为定值2 ………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）证明：()g x 的定义域为(0)+∞，，1()e x g x x '=-，令()()G x g x '=，则21()e 0x G x x '=+>， 所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，即()g x '在(0)+∞，上单调递增， ………………（2分） 131e 303g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->， 故存在0113x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0001()e 0x g x x '=-=，（*）当0(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0()x x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，理科数学参考答案·第7页（共8页）所以对(0)x ∀∈+∞，，均有000()()e ln x g x g x x =-≥，① 由（*）式可得001e x x =，代入①式得00000000011()e ln e ln e e x x x xg x x x x x =-=-=+=+， 又00x >，所以0012x x +≥，当且仅当01x =时取“=”，但013x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1，故0012x x +>， 故0()()>2g x g x ≥．……………………………………（6分）（2）解：由题得2()()()e ln 0x h x g x f x x x ax x =-=-+->，，于是函数()h x 有两个零点等价于方程2e ln 0x x x ax -+-=有两个不同的解，因为0x ≠，所以又等价于2e ln 0x x x a x-+-=有两个不同的解．令2e ln ()x x x H x a x -+=-，则22e ln e 1()x x x x x H x x ++--'=，………………………（8分） 再令2()e ln e 1x x p x x x x =++--，则1()e 20x p x x x x'=++>， 所以()p x 在(0)+∞，上单调递增．又(1)0p =，所以当(01)x ∈，时，()0p x <；当(1)x ∈+∞，时，()0p x >， 故当(01)x ∈，时，()0H x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0H x '>， 于是当(01)x ∈，时，()H x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()H x 单调递增，即(1)1e H a =+-是()H x 在(0)+∞，上的最小值，于是，若(1)1e 0H a =+-≥，即1e a +≤时，则当(01)x ∈，时，()(1)0H x H >>， 当(1)x ∈+∞，时，()(1)0H x H >>，故()H x 在(0)+∞，上至多有一个零点1x =；………………………………………………（10分）若(1)1e 0H a =+-<，即1e a >+时，则当(01)x ∈，时，由于1(01)a ∈，，(1)0H <，11211e ln11111e ln 201aa a a H a a a a a a a a a a a a-+⎛⎫⎛⎫=-=-+->+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()H x 在(01)，上有且仅有一个零点111x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 同理，当(1)x ∈+∞，时，由于(1)a ∈+∞，，(1)0H <，理科数学参考答案·第8页（共8页）2e ln e ln 22()0a a a a a H a a a a a a a a a a-+-=-=+->+-=>，故()H x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点2(1)x a ∈，，即当(0)x ∈+∞，时，()H x 共有两个零点12x x ，．综上，当1e a >+时，()h x 有两个零点． ……………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）C 的直角坐标方程为22143x y +=， ……………………………………（2分）l的参数方程为1cos ()sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，．………………………………………（4分） （2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2(1cos )14t α+=，整理得222(3cos 4sin )2(3cos )10t t αααα+++-=，………………………………………………………………（6分）所以1222211||||||||3cos 4sin 3sin PA PB t t ααα===++， …………………………（8分） 而[0π)α∈，，故2sin [01]α∈，， 所以2111||||3sin 43PA PB α⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，． ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 （1）解：由240()404244x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩，≤，，，，≥，……………………………………………（2分）得min()4f x =，要使()|2|f x m +≥恒成立，只要|2|4m +≤，即62m -≤≤，故实数m 的最大值为2． ……………………（5分） （2）证明：由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤，222222222()4242242(1)(21)a b a b a b ab a b ab a b ab ab +-=++-=+-=--+，∵01ab <≤，∴222()42(1)(21)0a b a b ab ab +-=--+≥，∴2a b ab +≥． ……………………………………………………………………（10分）。