游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得 解，辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫 寒，无上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听 于墙角。师每出题，童必求当日解决，不留问题到天 明。然此日师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处 于道中演练，为防异处而忘，故坚不让道。
辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图： 1-9个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。 辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学 之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一 顿，相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并 推广至16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把 这些图总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》 中，流传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重 要应用。
+
+
(1)k
C
k n
a
nk
b
k
+ + (1)n Cnnbn
二项展开式指定项的系数问题
2.已 知 二 项 式 3
x
2
10
,
(1)求
展
开
式
中
第4项
的
二
项
式
系
数
；
3x
(2)求 展 开 式 中 第4项 的 系 数; (3)求 第4项.
n
3.已知 x + 1 的展开式中，前三项的系数成等差数列， 2 x
二项式定理
基础知识
研究(a+b)n的展开式
1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=？
n次齐次式
2.规律: (1)展开式各项次数有什么特点？a降次，b升次
(2)展开式各项系数有什么特点？ 1 1
15.在
x
2 x2
8的 展 开 式 中,(1)系 数 的 绝 对 值 最 大 的 项是 第 几 项 ？
(2)求 二 项 式 系 数 最 大 的 项；(3)求 系 数 最 大 的 项(；4)求 系 数 最 小 的 项.
◆求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， n为奇数时中间两项，n为偶数时中间一项.
121
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 3 3 1
1 4 64 1
如何求(a+b)n的展开式
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
C 20a 2 C 21ab C22b2
共有三项
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
=
C nk 1
n
k k
+1
实质：数
所
以C
k n
相
对
于Cnk
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知 2
它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
C2 n
◆设Tk+1的系数为Ak+1，求系数最大的项，可通过 解不等式组Ak+1≥Ak且Ak+1≥Ak+2求得.
近似计算、整除及余数问题
16.用 二 项 式 定 理 证 明1110 1能 被100整 除.
17.求 证 ：2n+2 3n + 5n 4能 被25整 除(n N*)
18.求 证 ： 1+ 3 + 32 + + 33n1能 被26整 除(n为 大 于1的 偶 数)
1.对称性：在二项展开式中，与首末两 端“等距离”的两项的二项式系数相
C
m n
=
C nm n
等.
图象的对称轴：r
=
n
2
在相邻的两行中，除1外的每一个 数都等于它“肩上”两个数的和.
C
r n+1
=
C
r n
1
+
C
r n
2.增减性与最大值：
二项式系数的性质
C nk
=
n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
由杨辉三角形研究二项式系数的性质
(a + b)n 展开式的二项式系数依次是：
C
0 n
,Cn1
,Cn2
,
,Cnn
f(r) 20
令f (r)
=
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
14
当n= 6时,其图象是7个孤立点
问题：观察杨辉三角形，你能发 6 现二项式系数的哪些性质？
O 36
r
二项式系数的性质
n
5.已 知 3 x 3 的 展 开 式 中 第6项 为 常 数 项(1)求n；(2)求 含x2的 项.
3 x
6.若
x+
1
n
展
开
式
中
前
三
项
系
数
成等
差
数
列, 求
：
24 x
(1)展 开 式 中 含x一 次 幂 的 项(；2)展 开 式 中 所 有x的 有 理 项.
抓住通项Tk+1 = Cnkan-k bk解题, 注意Cnkan-k bk是第k +1项,不是第k项.
二项式定理规律
1、二项式系数规律 Cn0、C1n、Cn2、 、Cnn
2、指数规律 （1）各项的次数均为n； （2）字母 a 的次数由n降到0， 字母 b 的次数由0升到n.
3、项数规律 二项展开式共有n+1项
4、通项公式
Tk +1
=
C
k n
a
nk
bk
二项式定理简单运用
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
求 展 开 式 中x项 的 系 数 及 二 项 式 系 数.
◆ 区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；
二项展开式的特定项问题
4.若
x
2 x2
n
的 展 开 式 中 第5项 的 系 数 与 第3项 的 系 数 的 比 是10：1，
3
(1)证 明 展 开 式 中 没 有 常 数项 ；(2)求 展 开 式 中 含x 2的 项.
(4)a0 + a2 + + a100 2 a1 + a3 + + a99 2;
(5) a0 + a1 + + a100 .
常见的赋值方法(：1)多项式f ( x)的各项系数和为f (1);
(2)奇数项系数和为 f 1 f -1,偶数项系数和为 f 1+ f -1
2
2
展开式的系数和问题
12.设(3x 1)8 = a0 + a1x + a2 x2 + + a8 x8 ,求 (1)a1 + a2 + + a8;(2)a0 + a2 + a4 + a6 + a8; (3)a0 a1 + a2 a3 + a4 a5 + a6 a7 + a8 .
探究
对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何 进行抽象？
进一步，(x+y+z)6展开式中x3y2z的系数是多少？ (2x+y+3z)6展开式中x3y2z的系数是多少？
展开式的系数和问题
10.若(3x 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + + a1x + a0 ,求 (1)a1 + a2 + + a7;(2)a1 + a3 + a5 + a7; (3)a0 + a2 + a4 + a6;(4) a0 + a1 + a2 + + a7 . 11.(2 3x)100 = a0 + a1x + a2 x2 + + a100 x100 ,求 (1)a0;(2)a1 + a2 + a3 + + a100;(3)a1 + a3 + a5 + + a99;
完成课本31页练习
二项式定理
“杨辉三角形”与二项式系数的性 质
引例：从排列组合“定序”问题说起
Q 如图某城市中P，Q两地有整
齐的矩形道路网，从Q地到P 地共有多少种最近的走法？
P
可以推出Q到每一个节点 的步数，如图所示，你发 现了什么规律？
杨辉三角形
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的
展
开
式
中x 3的
系
数,并 问
展
开
式
中
x
是 否 存 在 常 数 项 ？ 1、区别“二项式系数”与“系数”