谢谢 请多指教
以பைடு நூலகம்
上
两
式
相
减
，
得
a2k 1 a2k 1 2 于是有
a1 a3 a5 a59 (a1 a3 ) (a5 a7 ) (a57 a59 ) 15 2 30
。 。 。 。 。 （1）
又由 an 1 (1)
n
an 2n 1 ，令 n=1,3,5......59,知
关于一道高考题的 解法探究
浩良河化肥厂学校 谷艳波
2012 年高考全国新课程卷理科第 16 题：
n
数列 {a n} 满足
an1 (1) an 2n 1 ， 则
{a n } 的前 60 项和为
n a ( 1) an 2n 1 ，则 {a n } 的前 60 项和为 数列 {a } 满足 n1
a2 a1 1, a4 a3 5, a6 a5 9....... a60 a59 117
以上各式相加，得
(a2 a 4 a6 a60 ) (a1 a3 a5 a59 ) 1 5 9 117 1770
于是可知
a4k 3 a, a4k 2 a (8k 7), a4k 1 2 a, a4k a (8k 1),
所以 a4k -3 a4k 2
a4k 1 a4k 16k 6 ， 知每连续四项之和成等差
15(10 15 16 6) s60 1830 数列，则 2
g (n)an
an1 qan d （其中 q,d 为常数）构造
想通过以上几种方法求出通项，在进一步进行求和， 但进一步分析哪种形式都不符合，原因出在这道题有
(1) ，这样就给试题增加了难度，整体上看项与项
n
之间没有明显的联系，但我们知道，对于给出递推数列， 没有给出更好方法之前， 通常可以特值开路， 写出前几项， 进行归纳，再猜一般规律，这也是做数学题的通法，下面 我们看第一种方法
n a ( 1) an 2n 1 ，则 {a n } 的前 60 项和为 数列 {a } 满足 n1
n
思路三 分组求和法
解 法 三 ： 由
an1 (1)n an 2n 1
， 令
n=2k, 则 有
a2k 1 a2k 4k 1 ，令 n=2k-1,
则 有
a2k a2k 1 4k 3;
即 an2
an (1) (2n 1) 2n 1,
n
n a a ( 1 ) (2n 1) 2n 3 ，两式相加得 也有 n3 n1
an an1 an2 an3 2(1)n 4n 4 ，设 k 为整数，则
a4k 1 a4k 2 a4k 3 a4k 4 2(1)4k 1 4(4k 1) 4 16k 10于是
思路一
有
从特殊到一般
1
n a ( 1 ) an 2n 1 ，分别令 n=1,2,3,4,.....,则 解法一 设 a a 由递推公式 n1
a1 a, a 2 1 a, a3 2 a, a4 7 a, a5 a, a6 9 a, a7 2 a, a8 15 a. a9 a,
通过由特殊到一般这种方法我们归纳 出数列具备连续四项的和是等差数列，这 在数学来讲是不完全归纳，大题要是按这 样做的话就不具备数学证题的完备性，所 以我们就要附带证明过程，因为这道题是 连续四项的和是等差数列，我们必须找相 邻四项的关系，所以我们想到迭代法，通 过直接反复利用递推公式而进行迭代，能 够出现两项之间的关系式，然后进行关系 式之间的相加运算，下面我们就用迭代法
14
s 60 (a4 k 1 a4 k 2 a4 k 3 a4 k 4 ) 1830
k 0
n ( 1 ) 另外由于 的出现，使我们不得不想到 n 要分奇
数和偶数，从而得到 an1 an f (n) 或是 an 1 an f (n) 型问题，这是我们非常熟悉的形式，想到利用叠加法及并 项法来解决， 分别求出奇数项的和与偶数项的和， 再相加。 从而得到下一个熟悉的思路
n a ( 1) an 2n 1 ，则{a } 的前 60 项和为 数列 {a } 满足 n1
n n
思路二
利用迭代法
n
解法二 由 an 1 (1)
an 2n 1 得
an 2 (1) n an 1 2n 1 (1) n ((1) n an 2n 1) 2n 1 an (1) n (2n 1) 2n 1
n
本题是 2012 年高考题第 16 题，可以说本题的难度很 大，学生的失分率很高，这道题以数列的递推公式为背景， 求数列的前 n 项和的过程，看似简单，因为很容易认为这 个递推公式符合我们熟悉的几种递推公式形式， 如形式（1） an1 an f (n) （2） an1 (3) 法 用累加法 用累乘法
将（1）式代入（2）式得 a 2 a4 a6 a60 1800于是 。 。 。 。 。 （2）
s60 1830
以上只是三种解题方法还有一些方法我在这里就不一 一探究，通过这道高考题体现了数学常用的思想方法如特 值法，归纳推理的思想，分类讨论思想，构造法思想，以 及数列的迭代，累加的计算方法我想类似这样的题目在今 后的教学中应多加留意， 以上是我对这道题目的一些看法。