1 a4
1 a2b2 4
OA a,
S 2 AOB ab 2
综上所述
S
有最小值
AOB
a2b2 a2 b2
,
S
有最大值
AOB
ab . 2
方法三 ：利用参数方程求解
解（1）令椭圆的参数方程为 x a cos
y
b
sin
设A(a cos ,bsin ), B(a cos,bsin),
又因为OA OB,则a2 cos cos+b2 sin sin 0,
S
有最大值
AOB
ab . 2
方法二 ：利用平面直角坐标系求解
x2 y2
解：（1）设椭圆的方程为
a2
b2
1
，
当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为 y kx ,则直线OB方程为
记A( x1 ,
y1 ), B(x2 ,
y
2
)
,则由
x a
2 2
y2 b2
1,
得
x1
2
y kx
y1
2
a 2b 2
S AOB
1 2
OA
OB
1 2
1 2
1
a2b2
,
2 (b2 cos2 1 a 2 sin 2 1 )(b2 sin 2 1 a 2 cos2 1 )
1
a2b2
2 b4 cos2 1 sin 2 1 a 2b2 cos4 1 a 2b2 sin 4 1 a 4 sin 2 cos2 1
1. 5题为圆锥曲线题，是历年高考的必考点。这道题是 放在课本选修4-4习题1.3第六题，是学习了极坐标系 后的一道习题。
2.本题难度较大，主要考察椭圆普通方程，在极坐标系 下的方程，参数方程的运用，以及直线方程，三角 函数、最值等一系列问题。
3.考察学生代数推导，数形结合，解题优化的思想和能 力。
1
a2b2
2 (b4 a 4 - 2a 2b2 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2
1
a2b2
2 (a 2 b2 )2 sin 2 21 a 2b2 4
当且仅当 sin 2 21
1，即1
4
或
5 4
时， S AOB有最小值
a2b2 a2 b2
；
当sin 2 21
0，即1
0或时，
当，都不为
2
或
3 2
时，则tan
tan=-
a2 b2
11
1
1
sin2 cos2 sin2 cos2
OA2 OB2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2
tan2 1 tan2 1 (tan2 1)(a2 +b2 tan2 ) (tan2 1)(a2 +b2 tan2 )
1
a2b2
a2 b2 a2b2
;
b2 a2k2 b2 a2k2 a2 b2k2 a2 b2k2
当直线OA与OB其中一条直线斜率不存在时，则另一条直线斜率是0，
此时 1 1 1 1 a2 b2 OA 2 OB 2 a 2 b2 a 2b2
综上所述， 1 1 是定值 a2 b2 .
OA 2 OB 2
a2b2
(2)由S AOB
1 2
OA
OB ，可得 S 2 AOB
1 4
OA 2
OB
2
由（1）可得， 1 1 a 2 b 2 2
OA 2 OB 2
a 2b 2
11 2 OA 2 OB 2 2 b2
1
a2b2
SAOB 2 OA OB a 2 b2
cos2
a 2b 2
1 a2
sin 2
1
,
2 2
b2
sin 2
a 2b 2
1 a2
cos2
1
,
于是 1 OA2
1 OB2
1
12
1
22
b2 cos2 1 a2 sin2 1 b2 sin2 1 a2 cos2 1
a2b2
a2 b2 a2b2
所以，1 1 为定值。 OA2 OB2
（2）依题意，得到
a2 +b2 tan2 a2 +b2 tan2
(a2 +b2 tan2 )(a2 +b2 tan2 )
当，其 (中aa2一2+bb2个2(t)为 a(tna2n2或 t3atna2时 n2， 则2ba22b另2a2)2一) 个a为a22+0bb或22 ，此时
（优选）高中数学说题课件
各位评委、老师，您们好：
我今天要说的题目是5号题。
❖5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分
别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的
两点,且 OA OB．
（Ⅰ）求证
1 OA2
1 OB
2
为定值.
（Ⅱ）求 AOB 面积的最大值和最小值．
一.题目 二.解答 三.反思 四.变式迁移
b2 a2k 2 k 2a2b2
b2 a2k 2
y 1 x. k
x2
由 a 2
y
y2
b2 1
k
1 ,
得
x2
2
x
y
2
2
a2b2k 2
a2 b2k 2 a 2b 2
a2 b2k 2
1 OA
2
1 OB 2
1 x12 y12
x2 2
1 y22
a2b2
1 k 2a2b2
a2b2k 2
由（1）得 OB 2
1
a2 b2 1
-
a 2b2 OA 2
则S 2 AOB
1 4
OA 2 OB 2
1 4
OA 2
a2
1 b2 -
1
1
1
4 a2 b2 -
1
a 2b2 OA 2
a 2b2 OA 2 OA 4
随着 OA 的增加，此函数值在增加.
S
2 AOB
1 4
1 a2 b2 a2b2a2
-
为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为
x2 y2 1 a2 b2
以O点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为
( cos ) 2 ( sin ) 2 1
a2
b2
即 2
a2b2
b2 cos2 a2 sin2
由于OA
OB, 可设A(1,1 )，令B(2 ,1
2
)，则
2 1
b2
❖5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分
别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的
两点,且OA OB ．
（Ⅰ）求证
1 OA 2
1 OB
2为定值.
（Ⅱ）求 AOB 面积的最大值和最小值．y
A 2
B
O
22 x
方法一 ：利用极坐标求解
解：（1）以椭圆中心O点为坐标原点，长轴所在直线为x轴，短轴所在直线
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos4 1 sin 4 1 )
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos4 1 sin 4 1 )
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos2 1 sin 2 1）2 - 2 cos2 1 sin 2 1