2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题52：平面几何的综合一、选择题1. （2012湖北鄂州3分）如图，四边形OABC 为菱形，点A 、B 在以O 为圆心的弧上，若OA =2，∠1=∠2，则扇形ODE 的面积为【 】A .π34B .π35C .π2D .π3【答案】A 。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。

【分析】如图，连接OB ．∵OA =OB =OC =AB =BC ，∴∠AOB +∠BOC =120°。

又∵∠1=∠2，∴∠DOE =120°。

又∵OA =2，∴扇形ODE 的面积为21202 43603ππ⋅⋅=。

故选A 。

2. （2012湖南岳阳3分）如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于D ，BC 与CD 相交于C ，连接OD 、OC ，对于下列结论：①OD 2=DE •CD ；②AD +BC =CD ；③OD =OC ；④S 梯形ABCD =CD •OA ；⑤∠DOC =90°，其中正确的是【 】A ．①②⑤B ．②③④C ．③④⑤D ．①④⑤ 【答案】A 。

【考点】切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质。

1052629【分析】如图，连接OE ，∵AD 与圆O 相切，DC 与圆O 相切，BC 与圆O 相切， ∴∠DAO =∠DEO =∠OBC =90°， ∴DA =DE ，CE =CB ，AD ∥BC 。

∴CD =DE +EC =AD +BC 。

结论②正确。

在Rt △ADO 和Rt △EDO 中，OD =OD ，DA =DE ，∴Rt △ADO ≌Rt △EDO （HL ） ∴∠AOD =∠EOD 。

同理Rt △CEO ≌Rt △CBO ，∴∠EOC =∠BOC 。

又∠AOD +∠DOE +∠EOC +∠COB =180°，∴2（∠DOE +∠EOC ）=180°，即∠DOC =90°。

结论⑤正确。

∴∠DOC =∠DEO =90°。

又∠EDO =∠ODC ，∴△EDO ∽△ODC 。

∴OD DE DC OD=，即OD 2=DC •DE 。

结论①正确。

而ABCD 11S AB AD BC AB CD=CD OA 22=⋅⋅+=⋅⋅⋅梯形（），结论④错误。

由OD 不一定等于OC ，结论③错误。

∴正确的选项有①②⑤。

故选A 。

3. （2012四川乐山3分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE =CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CEDF 不可能为正方形；③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化； ④点C 到线段EF 的最大距离为．其中正确结论的个数是【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B 。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。

【分析】①连接CD（如图1）。

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。

∴△DFE是等腰直角三角形。

故此结论正确。

②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于12 BC。

∴四边形CEDF是平行四边形。

又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。

又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。

故此结论错误。

③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。

由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。

∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。

∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。

故此结论错误。

④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE。

当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值C到线段EF故此结论正确。

故正确的有2个：①④。

故选B。

4. （2012四川广元3分）如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A 与点B之间的距离为【】A B C. r D. 2r【答案】B。

【考点】菱形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，连接AB，与OC交于点D，∵四边形ACBO为菱形，∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB。

又∵OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都为等边三角形，AD=BD。

在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，∴AD=OAsin。

∴AB=2AD。

故选B。

5. （2012辽宁锦州3分）下列说法正确的是【】A.同位角相等B.梯形对角线相等C.等腰三角形两腰上的高相等D.对角线相等且垂直的四边形是正方形【答案】C。

【考点】同位角、梯形、等腰三角形的性质，正方形的判定。

【分析】根据同位角、梯形、等腰三角形的性质和正方形的判定逐一作出判断：A.两直线平行，被第三条直线所截，同位角才相等，说法错误；B.等腰梯形的对角线才相等，说法错误；C.根据等腰三角形等边对等角的性质，两腰上的高与底边构成的两直角三角形全等（用AAS），从而得出等腰三角形两腰上的高相等的结论，说法正确；D.对角线相等且垂直的四边形是不一定是正方形，还要对角线互相平分，说法错误。

故选C。

二、填空题1. （2012宁夏区3分）如图,在矩形ABCD中，对角线AC、BD相较于O,DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶2，且AC=10，则DE的长度是▲ ．。

【考点】矩形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =90°，AC =BD =10，OA =OC =12AC =5，OB =OD =12BD =5。

∴OC =OD ，∴∠ODC =∠OCD 。

∵∠EDC ：∠EDA =1：2，∠EDC +∠EDA =90°，∴∠EDC =30°，∠EDA =60°。

∵DE ⊥AC ，∴∠DEC =90°。

∴∠DCE =90°－∠EDC =60°。

∴∠ODC =∠OCD =60°。

∴∠COD =60°。

∴DE = OD • sin 60°=5。

2. （2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG 丄CD ，分别交GD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个结论：①AG FGAB FB=；②点F 是GE 的中点；③AF ；④S △ABC =5S △BDF ，其中正确的结论序号是 ▲ ．【答案】①③。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。

【分析】∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∴AB ⊥BC 。

又∵AG ⊥AB ，∴AG ∥BC 。

∴△AFG ∽△CFB 。

∴AG FGCB FB=。

∵BA =BC ，∴AG FGAB FB=。

故①正确。

∵∠ABC =90°，BG ⊥CD ，∴∠DBE +∠BDE =∠BDE +∠BCD =90°。

∴∠DBE =∠BCD 。

∵AB =CB ，点D 是AB 的中点，∴BD =12AB =12CB 。

∴BD 1tan BCD BC 2∠==。

又∵BG 丄CD ，∴∠DBE =∠BCD 。

∴在Rt △ABG 中，AG 1tan DBE AB 2∠==。

∵AG FG CB FB=，∴FG =12FB 。

故②错误。

∵△AFG ∽△CFB ，∴AF ：CF =AG ：BC =1：2。

∴AF =13AC 。

∵AC，∴AF。

故③正确。

设BD = a ，则AB =BC =2 a ，△BDF 中BD 边上的高=23。

∴S △ABC =212a 2a=2a 2⋅⋅， S △BDF 2121=a a=a 233⋅⋅ ∴S △ABC =6S △BDF ，故④错误。

因此，正确的结论为①③。

3. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，ADAB ＝6．在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF ＝120°． (1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是 ▲ ； (2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是 ▲ ．【答案】6；2或5。

【考点】直角梯形的性质，勾股定理，解直角三角形。

【分析】(1)如图1，过E 点作EG ⊥DF ，∴EG ＝AD∵E 是AB 的中点，AB ＝6，∴DG ＝AE ＝3。

∴∠DEG ＝60°（由三角函数定义可得）。

∵∠DEF ＝120°，∴∠FEG ＝60°。

∴tanGF ＝3。

∵EG ⊥DF ，∠DEG ＝∠FEG ，∴EG 是DF 的中垂线。

∴DF ＝2 GF ＝6。

(2)如图2，过点B 作BH ⊥DC ，延长AB 至点M ，过点C 作CF ⊥AB 于F ，则BH ＝AD∵∠ABC ＝120°，AB ∥CD ，∴∠BCH ＝60°。

∴CH＝BH tan60，BC＝BH cos60。

设AE ＝x ，则BE ＝6－x ， 在Rt △ADE 中，DE=在Rt △EFM 中，EF∵AB ∥CD ，∴∠EFD ＝∠BEC 。

∵∠DEF ＝∠B ＝120°，∴△EDF ∽△BCE 。

∴BC BE=DE EFx ＝2或5。

4. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =45°，AB D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC于E ，F ，连接EF，则线段EF 长度的最小值为 ▲ ．【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】由垂线段的性质可知，当AD 为△ABC 的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF =2EH =20E •sin ∠EOH =20E •sin 60°，当半径OE 最短时，EF 最短。