f 0 1 0 0
1
T 1
E j 1 E j e j 1, j q E j f j ,0 q
(5)
2. 滚动优化
NU N2 2 2 min J (t ) E y (t j ) w(t j ) ( j ) u (t j 1) j 1 j N1
三要素：
预测模型、滚动优化、反馈校正
典型算法：
动态矩阵控制（DMC）、模型算法控制（MAC）、广义 预测控制（GPC）
基于传递函数模型的广义预测控制算法
1. 预测模型
C (q ) (t ) A(q ) y (t ) B(q )u (t 1)
1 1 1
(1)
式中
A(q 1 ) 1 a1q 1 an q n
(8)
3. 在线辨识与校正
GPC 只用一个模型，通过对其在线修正来给出较准确的预测
A(q 1 ) y(t ) B(q 1 )u (t 1) (t )
y (t ) A1 (q 1 )y (t ) B(q 1 )u (t 1) (t )
1 1 其中 A1 (q ) A(q ) 1
u(t j 1), u(t j 2), y(t ), y(t 1),
(t j ),, (t 1) 未知
根据已知输入输出信息，及未来的输入值，可以预测装置 未来的输出，未知可以省略，即GPC的预测模型
yt (t j | t ) E j Bu (t j 1) Fj y (t )
基于传递函数模型的广义预测控制算法
任伟 20121221406
王海 20121221409
前言
预测控制原理：
预测控制一般表现为采样控制算法，应包含预测的原理， 即利用内部模型的状态或输出预测，同时应用有限预测时域 的滚动计算思想和反馈及预测校正，最后采用对某个系统性 能指标的最优化计算以确定在一个控制时域内的最有控制序 列。
E0 可得 AE q j (q 1Fj 1 Fj Ae j 1, j ) 0 F j 1 q ( F j Ae j 1, j )
1. 预测模型 － 递推算法
由于 A 的首项系数为1 e j 1, j f j ,0
对象输出期望值可采用MAC中的参考轨迹形式
w(t ) y(t ) w(t j ) w(t j 1) (1 )c j 1, 2, , N
其中 0 1
2. 滚动优化－ 预测输出
NU N2 2 2 min J (t ) E y (t j ) w(t j ) ( j ) u (t j 1) j 1 j N1 由预测模型可以写出未来预测的输出
采用渐消记忆的递推最小二乘法估计参数向量
ˆ T ˆ ˆ (t ) (t 1) K (t ) y (t ) (t ) (t 1) 1 T K (t ) P (t 1) (t ) (t ) P (t 1) (t ) 1 P (t ) 1 K (t ) T (t ) P (t 1)
(4)
1. 预测模型
记 G j E j B ，结合式(2)和(3)可得
Gj
B (1 q j F j ) A
1 因此，多项式 G j ( q ) 中前 j 项的系数正是装置阶跃响应前 j 项的采样值，记作 g1, , g j
G q ) G j j((q1 ) g j ,0 g j ,1q 1
T
E (q 1 ), F (q 1 )
3. 根据 B(q 1 ), E (q 1 ), F (q 1 ) ，计算 G(q 1 ) 的元素 g i ，并计算 f 4. 重新计算出 g ，并计算控制作用 u(t) ，将其作用于控制 对象
1. 预测模型 － 递推算法
E j1, j q 1 E j f j ,0 q 1
取 E1 1, F1 q(1 A)为
E j , F j 的初值，则 E , F 可按下式计算 j 1 j 1
f j 1 Af j

ˆ y GU f (6)

2. 滚动优化 － 最优控制量
U (G G I ) G (W f )
T 1 T
(7)
其中W w(t 1) w(t N ) T
即时控制量为
u (t ) u (t 1) g T (W f )
T T 1 T 其中 g 为矩阵(G G I ) G 的第一行
f j 1 f j 1,0 f j f j ,0 f j 1, n
T T
其中
f j ,n
1 a1 a a 1 2 A an 1 an an
1
0 0 1 0
ˆ y (t 1| t ) G1u (t ) F1 y (t ) g1,0 u (t ) f1 (t ) ˆ y (t 2 | t ) G2 u (t 1) F2 y (t ) g 2,0 u (t 1) g 2,1u (t ) f 2 (t ) ˆ y (t N | t ) GN u (t N 1) FN y (t ) g N ,0 u (t N 1) g N , N NU u (t NU 1) g N , N 1u (t ) f N (t ) g N , N NU u (t NU 1) g N , N 1u (t ) f N (t )
则有 g j ,i gi 1 (i j )
1. 预测模型
yt (t j | t ) E j Bu (t j 1) Fj y (t )
求解一组丢番图方程(3)
计算量很大 必须知道 E j , Fj ，为此克拉克提出了一种E j , Fj 递推算法求解
1. 预测模型 －递推算法
记
ˆ ˆ y y (t 1| t ) f f1 f2
T
ˆ y (t N | t )
T T
U u (t ) u (t NU 1) g j ,i g i 1 (i j )是阶跃响应系数
g1 g 2 G gN g1 g N NU 1 N NU 0
(9)
其中
－遗忘因子，一般取0.95 1
K (t ) －权因子
P(t ) －正定的协方差阵，初始取 2 I， 为一足够大正数 ˆ 初始 (0) 0
GPC在线控制总结
1. 根据最新的输入输出数据，用递推最小二乘法估计模型 参数，得到 A(q 1 ) 和 B(q 1 )
2. 根据得到的 A(q 1 )，按递推公式(5)计算
1 E j (q 1 ) A q j Fj (q 1 )
(3)
1 式中 E j , Fj 是由 A(q ) 和预测长度 j 唯一确定的多项式
E j (q 1 ) e j ,0 e j ,1q 1 e j , j 1q ( j 1) Fj (q 1 ) f j ,0 f j ,1q 1 e j ,n q n
其中
E 数学期望 w 输出的期望值 N1 , N 2 优化时域的始值和终值 NU 控制时域
( j ) 控制加权系数，一般取常数
2. 滚动优化 － 输出期望值
NU N2 2 2 min J (t ) E y (t j ) w(t j ) ( j ) u (t j 1) j 1 j N1
1 E j A q j Fj 1 E j 1 A q ( j 1) Fj 1
两式相减可得 A( E j 1 E j ) q j ( Fj 1 Fj ) 0
记 A 1 a1q 1 an 1q ( n1) 1 (a1 1)q 1 (an an 1 )q n an q ( n1) E j 1 E j E e j 1, j q j
把模型参数与数据参数分别用向量形式描述
a1 an b0 bn
b
T
(t ) y (t 1) y(t n) u (t 1) u (t nb 1)
T
y(t ) T (t ) (t )
3. 在线辨识与校正
f j 1,i f j ,i 1 ai 1e j 1, j f j ,i 1 ai 1 f j ,0 i 0,, n 1 f j 1,n an 1e j 1, j an1 f j ,0
F j系数的递推关系可用向量形式表示 f j 1 Af j
1. 预测模型
E j q j 可得： 对公式(1)，即CARIMA模型，两端乘以
C (q 1 ) (t ) A(q ) y (t ) B(q )u (t 1)
1 1
E j Ay (t j ) E j Bu (t j 1) E j (t j )
1. 预测模型
1 为了突出方法原理，假设 C (q ) 1 。输入 u 对输出 y 之 间可用 z 传递函数给为：
z 1 B( z 1 ) 1 G( z ) A( z 1 )
(2)
利用模型 (2) 导出 j 步之后输出 y ( t+j ) 的预测值。
1. 预测模型
丢番图(Diophantine)方程
1 E j (q 1 ) A q j Fj (q 1 )
利用丢番图方程(3)，可得 t + j 时刻的输出量