五、分数的简便计算亲爱的同学们�你一定听过大数学家高斯小时候巧算1�2�3�4�……+99+100的故事吧�通过这个故事我们明白�找到合适的方法�会使一些原本复杂、繁琐的题目做起来省时、准确。

这个单元�老师将和你们一起来分析新朋友——分数中的一些运算技巧�你准备好了吗�【教学目标】1�灵活、正确、合理地运用各种性质、定律等�使复杂的计算变得简单�从而大幅度地提高计算速度及正确率。

2�培养了学生的学习兴趣和判断推理的能力�使学生养成独立思考的良好习惯。

�一�巧用运算定律和性质【拓展目标】⒈能够根据四则运算的定律及性质使一些计算变得简便。

⒉能利用和、差、积、商的变化规律进行简便计算。

⒊进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。

【知识概述】⒈运算定律。

⑴加法交换律�a+b=a+b⑵加法结合律��a�b��c�a��b�c�⑶乘法交换律�a×b�b×a⑷乘法结合律��a×b�×c=a×(b×c)⑸乘法对加法的分配律�(a+b)×c=a c+b c⒉运算规则。

⑴加、减法运算规则�a�b�c�d�e=a�(b�c�d�e)⑵乘、除法运算规则�a÷b÷c=a÷(b×c)a÷m�b÷m=(a�b)÷m⒊熟记一些小数和分数互化常用的数据.【思维训练】�一�例题精学例1�125×38�2.6�0.625×125�25【思路点拨】这道题在熟练地进行分数、小数互化基础上利用了乘法分配律和加法结合律�是简便计算中常用的方法。

原式�125×38�58×125��2.6�25��125×�38�58��3�125�3�128【同步练习】3.64÷4�4.36×0.25例2�4445×46【思路点拨】这两种方法分别对两个乘数进行变形之后�都利用乘法分配律使计算简便。

方法一�4445×46��1�145�×46�46�1145�444445方法二�4445×46�4445×�45�1��44�4445�444445【同步练习】8988×87方法一�方法二�例3�5425÷17【思路点拨】运用拆分的方法�把被除数5425分成一个17的倍数与另一个较小的数相加�然后分别除以17�如果把除以17改写成乘以117等于运用了乘法分配律。

原式�(51�325)÷17�51÷17�175÷17�315【同步练习】166120÷41例4.2008÷200820082009【思路点拨】题中的200820082009是除数�不能拆开�但把它化成假分数时�分子可以不算出来�用两个数相乘的算式表示�这样便于约分和计算。

方法一�原式�2008÷2008×2009�20082009�2008÷2008×20102009 �2008×20092008×2010�20092010 【思路点拨】 括号里可以拆项分别相除进行简算�与原算式的结果互为倒数�所以最后需要还原。

方法二�原式�1÷�200820082009÷2008� �1÷�2008÷2008�20082009 ÷2008� �1÷112009 �20092010 【同步练习】 1998÷199819981999例5. 91×58 �38×95 �91×58�38 ×91�38 ×4 �91×�58�38 ��32 �91�32�9212 【同步练习】 335 ×2525�37.9×625�二�拓展提高 37÷1413 �37 ÷323 4113 ×34 �5114 ×45 �6115 ×56 11×(211 �112)×12�二�约分法 【拓展目标】 ⒈能够利用约分的方法直接将分子、分母中公有因式进行约分�从而达到简便计算的目的。

⒉能够灵活地根据四则运算的性质将分子、分母转化、改写、变形等�找出其公有的因式�达到用约分法简便计算的目的。

⒊进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。

【知识概述】 本节所述题型�除了要牢记运算定律和性质外�还要仔细审题�仔细观察运算符号和数字特点�合理地把参加运算的数进行重新变形但不变值�从而可以通过约分简化运算�这样不仅可以算得快�还不容易出错。

【思维训练】 �一�例题精学 例1� 1�2�3�4�510�20�30�40�50 【思路点拨】 将分子与分母改写成两数相乘的形式�通过约分使计算简便。

原式�3×530×5�110【同步练习】1983�1985�……�19991984�1986�……�2000例2� �927 �729�÷�57 �59 � 【思路点拨】 题中前一括号中的每个数与后一括号中所对应的数都可以约分�使计算简便。

原式��657 �659�÷�57 �59 ��65×�17 �19 �5×�17 �19 ��13 【同步练习】(966373 �362425 )÷(322173 �12825 )例3�(4.8×11×4.5)÷(33×0.8×0.9) 【思路点拨】 改写成分式后直接约分�使计算简便。

原式�4.8×11×4.533×0.8×0.9�10 【同步练习】�8.5×65×8.1�÷�34×5.2×2.7�例4� 666×325�555111�666×324【思路点拨】 本题中的分子和分母没有公有的因式可以直接约分�通过观察分子分母中数的特征�可以将分子变得和分母一样�也可以将分母变得和分子一样。

原式�666×324�666�555111�666×324 �666×324�111111�666×324 �1 【同步练习】666×325�555111�666×324例5�(1�12)×(1�13 )×……×(1�12007 )×(1�12008 ) 【思路点拨】 计算本题时�可以先把每个括号中的结果先计算出来�会发现前一个分数的分母和后一个分数的分子可以约分�这样结果的分子和分母就是第一个和最后一个分数的分子和分母。

原式�12×23 ×34 ×……×20062007 ×20072008 �� �你来完成� 【同步练习】(1�12 )×(1�13)×(1�14 )×……×(1�12006 )×(1�12007 )�二�拓展提高471�471471�471471471157�157157�157157157�89�137 �611 �÷�311 �49 �57 � 362�548×361362×548-186 �13�三�拆项法【拓展目标】⒈能灵活运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列求和的计算简便。

⒉进一步提高分析、综合、抽象、概括等能力。

【知识概述】将一个分式按一定得规律拆分后�往往可以一些复杂的运算转化成简便运算。

拆分的方法如下�1 a�1b�b�a a×b�1a×b×�b�a�(a�b且a b不为0)1 a�12a�12a�a不为0�【思维训练】�一�例题精学例1�11×2�12×3�13×4�……�199×100【思路点拨】本题直接利用拆项的方法�将每个分数拆成相应的减法形式。

原式�1�12�12�13�13�14�……�199�1100�1�1100�99100【同步练习】123�712�920�1130�……�1990例2�15×8�18×11�111×14�……�198×101【思路点拨】本题分母中两个因数相差3�所以是分数的拆分和乘法分配律的综合应用。

原式��15�18�×13��18�111�×13�……��198�1101�×13��15�18�18�111�……�198�1101�×13��15�1101�×13�32505【同步练习】32×5�35×8�38×11�……�398×101例3�12�14�18�116�……�1512【思路点拨】该题与前两题不同�它的规律是前一个分数的大小是后一个分数的2倍�所以在拆项时�只要把每个分数转化成前一个分数减去本身的差就可以。

原式��1�12���12�14��14�18��18�116��……�1256�1512��1�12�12�14�14�18�18�116�……�1256�1512�1�1512�511512【同步练习】12�14�18……�11024�12048�一�拓展提高112�116�1112�1120�11301�56�712�920�1130�1342�1556123�712�920�1130�……�1990123�2215�3235�4263�5299�四�其它【拓展目标】⒈能灵活运用分数换头与替换的方法使一些复杂的分数计算简便。

⒉进一步提高分析、综合、抽象、概括等能力。

【知识概述】在分数简便计算中�有一些题目看似无法简便�但只要根据分数乘法的计算法则�将分子与分子或分子与整数交换一下位置�就符合乘法分配律的形式了�俗称换头法�还有一些题目看似很复杂�如果将其中相同的部分用一个或几个字母来表示�就可以达到化繁为简的目的。

是计算简便�俗称替换法。

【思维训练】�一�例题精学例1.713×35�213×125【思路点拨】利用分数乘法的计算法则�掉换两个乘数的分子�使题目符合使用乘法分配律。

原式�713×35�713×25����尝试自己完成�【同步练习】29×17131�114×29131例2.�111�121�131�141�×�121�131�141�151���111�121�131�141�151�×�121�131�141�【思路点拨】在运用乘法分配律进行计算时�可以将若干个数的和看作一个整体�为使计算过程简便�可以将相同的一组数用字母代替。