(2) 求θ 的极大似然估计. (1) 证:
22
23
Eθ E x Ex
θθ
33
32
θ
2 3
x是参数
θ
的无偏估计
又
θ
Dθ
2 D 3x
4 9D x
4 12 9n
θ 27n
0n
∞
θ
2 3
x是参数
θ
的相合估计.
(2) X~u θ, 2θ 故其分布密度为
1 , 0 x 2θ θ 0
fx θ 0, 其他
似然函数
0.295,2.81
自测题 7
一、填空题
设总体X~N µ, σ x , x , x 是来自 X 的样本, 则当常数 a 时, µ x ax
的无偏估计. 解: µ x ax
x 是未知参数µ的无偏估计
x 是未知参数µ
则E µ E x aE x
Ex
µ aµ µ
1 a
2
二、一台自动车床加工零件长度 X(单位:厘米)服从正态分布N µ, σ .从该车床加工的零件中随机抽取
n 1s n 1s ,
χn 1χ n 1
15 1038.5 15 1038.5
,
27.488
6.262
27.488, χ . 15 6.262 566.702,2487.624
7. 某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取 11 个试件,测得它 们的抗弯强度为(单位:公斤): 42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7
解: (1) x 14.91, α 1 0.95 0.05, u .
1.96
直径均值µ 的置信度 0.95 的置信区间为:
σ
σ
x u ,x u
√n
√n
0.15
0.15
14.91 1.96
, 14.91 1.96
√9
√9
14.812,15.008
(2)x 14.91, S 0.041, α 1 0.95 0.05, t . 8 置信度 0.95 的置信区间为:
450,
520,
620,
190,
210,
800,
1100.
求λ的估计值.
解:
似然函数为 L λ
λe
λe ∑
lnL λ nlnλ λ x
令
d lnL λ n dλ λ
x0
得
n1
1
1
λ∑x
x
1 18
16
19 ,
,1100
318
2. 设总体 X 的概率密度为
θx , 0
fx
0, 其他.
试求(1) θ 的矩估计θ ;
d lnL λ ∑ x
n0
dλ
λ
解得λ 的极大似然估计为
1
λ
xX
n
习题 7.2 1. 证明样本均值x是总体均值 µ 的相合估计.
证:
σ
E x µ, D x
0n ∞
n
由定理 7 1 知x是 µ 的相合估计.
2. 证明样本的 k 阶矩A ∑ x 是总体 k 阶矩 E x 的相合估计量.
证:
1
EA E
x
n
1603 1540
15 2.1315
2.1315 √1038.5
1509.5
, 1509.5
√16
1492.328 , 1526.672
2.1315 √1038.5 √16
1480
1532
6. 求上题灯泡寿命方差 的置信度 0.95 的置信区间. 解: S 1038.5, α 1 0.95 0.05, 查表知χ . 15 置信度 0.95 的置信区间为:
1
1
25
1 1 25 25
Dµ
Dx
Dx
Dx
9
16
144
9 16 144 72
1
1
D µ 9 D x 36 D x
故µ 的方差最小.
4. 设总体X~u θ, 2θ , 其中 θ
1 4D x
111 7 9 36 4 18
0 是未知参数, 又x , x , x 为取自该总体的样品, x为样品均值.
(1) 证明θ x是参数 θ 的无偏估计和相合估计;
解:
1; θ0
2 θ 的极大似然估计θ .
(1)
EX
xf x dx x · θx dx θx dx
θ EX x θ 1
θ 的矩估计θ
x 1x
(2)
θ θ1
似然函数为 L θ
θx
θ x ,x , x
lnL θ nlnθ θ 1 lnx lnx , lnx nlnθ θ 1 lnx
令
d lnL θ n dθ θ
x
,x
√n
√n
2.2281 √0.5207
2.2281 √0.5207
43.4
, 43.4
√11
√11
42.915,43.885
(2) S 0.5207, α 1 0.90 0.1, 查表知χ . 10 σ 置信度 0.90 的置信区间为:
18.307, χ . 10
3.940
n 1s n 1s ,
1502
1480
1485
1511
1514
1508
1490
1470
1520
1505
求该批灯泡平均寿命µ 的置信度 0.95 的置信区间. 解: x 1509.5, S 1038.5, α 1 0.95 0.05, t . 置信度 0.95 的置信区间为:
t n 1s t n 1s
x
,x
√n
√n
1527 1485
求两总体方差比σ /σ 的置信度 0.90 的置信区间.
解:此处n 25, n 15, s 6.38, s 5.15, α 1 0.90 0.1, 0.05
σ /σ 的置信度 0.90 的置信区间为:
s
1
s
1
·
,·
s F n 1, n 1 s F n 1, n 1
6.38
1
6.38
1
·
,·
5.15 F . 24,14 5.15 F . 24,14
1
3
1
131
E µ 5 E x 10 E x 2 E x 5 µ 10 µ 2 µ µ
1
1
5
11 5
Eµ
Ex
Ex
Ex
µ µ µµ
3
4
12
3 4 12
1
1
1
E µ 3E x 6E x 2E x
µ , µ , µ 都是 µ 的无偏估计.
111 3µ 6µ 2µ µ
1
9
1
1 9 1 19
D µ 25 D x 100 D x 4 D x 25 100 4 50
n 1 s n 1 s 9 25 11 36
S
5.572
nn2
10 12 2
α 1 0.95 0.05, 查表知t . 20 2.086 故µ µ 的置信度 0.95 的置信区间为:
11
11
x y tn n 2
S ,x y t n n 2
S
nn
nn
11
11
20 24 2.086
5.572, 20 24 2.086
1 , 0 x 2θ i 1,2, n
Lθ θ 0, 其他
因对所有x 有 0 x 2θ i 1,2, n
0 max x , x , x 2θ
习题 7.3 1. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度X~N µ, 0.2 .现从中
抽取容量为 6 的样本测得样本观测值并算的x 解:α 1 0.9 0.1, u . 1.64 置信度为 0.9 的置信区间是
试求平均寿命µ 的 0.95 的置信区间.(例 7‐21, σ 未知时 µ 的置信区间) 解: x 4.7092, S 0.0615. α 1 0.95 0.05, 查 t 分布表知t . 11 平均寿命µ 的 0.95 的置信区间为:
2.2010
t n 1s t n 1s
x
,x
√n
√n
2.2010 √0.0615
注意这里是求 的置信
பைடு நூலகம்
求(1)平均抗弯强度µ 的置信度 0.95 的置信区间.
区间,结果要开方.
(2)抗弯强度标准差 的置信度 0.90 的置信区间.
解: (1) x 43.4, S 0.5207, α 1 0.95 0.05, 查表知t . 10 2.2281 置信度 0.95 的置信区间为:
t n 1s t n 1s
习题 7.1 1. 设总体 X 服从指数分布
f x; λ
λe , x 0, λ 0; 0, x 0.
试求λ的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取 18 个电子元件,测得 寿命数据如下(单位:小时):
16,
19,
50,
68,
100,
130,
140,
270,
280,
340,
410,
t n 1s t n 1s
x
,x
√n
√n
2.306 √0.041
14.91
, 14.91
√9
14.754 , 15.066
2.306 √0.041 √9
2.306
5. 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 X 服从正态分布N µ, σ , 其中 µ, σ 未知. 令随机地抽取 16 个灯 泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时):