误区解密 公式记忆不准确，计算错误 【例 4】 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验， 得到如下的列联表： 药物效果试验列联表 患 病 未患病 10 45 服用药 20 30 没服用药 请问有多大把握认为该药有效？
105×10×45－20×302 错解：k＝ 55×50×30×75 ≈0.381 8<0.455， ∴在犯错误的概率大于 0.5 的前提下认为该药有效． 2 n ad － bc 错因分析： K2＝ ， 而错解中误将(ad a＋bc＋da＋cb＋d －bc)2 用成(ab－cd)2. 105×10×30－20×452 正解：k＝ ≈6.11>5.024， 55×50×30×75 ∴在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为该药物有效． 纠错心得：在判断两个分类变量的可信程度时要特别注意 计算的准确度，准确代数、准确计算、准确比较、准确下结论．
要点阐释 1．独立性检验的基本思想 利用随机变量 K2 来确定是否能以一定把握认为“两个分类 变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验，独立性 检验的基本思想类似于反证法．要确认“两个分类变量有关 系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，如果 由观测数据计算得到的 K2 的观测值 k 很大，则在一定程度上说 明假设不合理．
②利用随机变量 K2 的计算公式，求 K2 的观测值 k. ③如果 k≥k0， 就推断“X 与 Y 有关系”， 这种推断犯错误 的概率不超过 α.否则，就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提 下不能推断“X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足 够证据支持结论“X 与 Y 有关系”．通常认为 k≤2.706 时，样 本数据就没有充分的证据显示“X 与 Y 有关系”．
题型二 独立性检验 【例 2】 某聋哑研究机构对聋哑关系进行抽样调查，在耳 聋的 657 人中有 416 人哑，而另外不聋的 680 人中有 249 人 哑．你能运用这组数据得出相应的结论吗？
思路点拨：先列出 2×2 列联表，再计算 K2 的值，运用独 立性检验得出结论． 解：根据题目所给数据得到如下列联表： 哑 不 哑 合 计 416 241 657 聋 431 680 不 聋 249 672 1 337 合 计 665 根据列联表中数据得到 2 1 337 × 416 × 431 － 249 × 241 K2＝ ≈95.29>10.828. 665×672×657×680 所以我们可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下说聋 哑有关系．
2．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作态度和对 待企业改革态度的关系，经过调查得到如下列联表： 积极支持 不太支持 总 企业改革 企业改革 计 54 40 94 工作积极 32 63 95 工作一般 86 103 189 总 计 根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为工作态度与对待企业改革态度之间有关 系？
1．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机 的情况如下表所示： 晕 机 不晕机 合 计 24 31 55 男 性 8 26 34 女 性 32 57 89 合 计 据此资料，你是否认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容 易晕机？
解： 根据列联表中所给的数据作出等高条形图，如图所 示．假设晕机与性别有关，则从画出的等高条形图中我们可以 看出：男乘客中晕机所占的比例约为 0.436，女乘客中晕机所占 的比例约为 0.235， 两者的差是|0.436－0.235|＝0.201， 差值较大， 因而我们可以认为晕机与男女性别是有关的．
由列联表中的数据，得 K2 的观测值为 1 500×982×17－8×4932 k＝ 990×510×1 475×25 ≈13.097>10.828. 因此，在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为质量 监督员甲在或不在生产现场与产品质量好坏有关系．
方法点评：利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可 以画出等高条形图，仅从图形上只可以粗略地估计两个分类变 量的关系，可以结合所求的数值来进行比较．作图应注意单位 统一，图形准确．但图形不能给我们两个分类变量是否有关的 精确判断，若要作出精确的判断，还应作独立性检验的有关计 算．
越大，关系越强．
3．独立性检验所采用的思路是：要研究 A，B 两类型变量 无关 ，在此假设下构 彼此相关，首先假设这两类变量彼此________ 造随机变量 K2.如果 K2 的观测值较大，那么在一定程度上说明 不成立 ． 假设________
4．给出 2×2 列联表如下表所示： B B1 B2 总计 A A1 98 ① 123 A2 89 ② ③ 总计 ④ 41 ⑤ 试根据表格填空： 25 16 (1)①______________ ；②____________ ； ③______________ ；④______________ ； 105 187 ⑤______________ ； 228 独立 (2)A 与 B______________ (填“独立”或“不独立”)．
(2)独立性检验(精确判断) 具有实施步骤如下： ①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关 系”犯错误概率的上界 α，然后查下表确定临界值 k0. P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k0 0.02 0.01 0.00 0.00 5 0 5 1 0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.8 5 8 3 2 6 1 4 5 9 28
思路点拨：首先作出数据的列联表，再由列联表画出条形 图，并计算 K2 的值，最后运用独立性检验得出结论． 解：根据题目所给数据得如下 2×2 列联表： 合格品数 次品数 总 计 982 8 990 甲在生产现场 493 17 510 甲不在生产现场 1 475 25 1 500 总 计
相应的等高条形图如图所示： 图中两个深色条的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产 现场样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场 样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场样本中次品数的频 率．因此可以认为质量监督员甲在或不在生产现场与产品质量 好坏有关系．
3．为研究司机血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关 系，从死于汽车碰撞事故的司机中随机抽取 2 000 名司机，得到 如下列联表： 有责任 无责任 总 计 650 150 800 有酒精 700 500 1 200 无酒精 650 2 000 总 计 1 350 试利用图形分析司机血液中含有酒精与对事故负有责任是 否有关系．根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不 超过 0.001 的前提下认为二者有关系？
自学导引 1．2×2 列联表 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别 ________， 这类变量称为分类变量．
(2)2×2 列联表． 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为 2×2 列联表)为： y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 像上表这样列出的两个分类变量的________ 频数表 称为列联表． 在列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足 ad－ bc≈0.因此|ad－bc|越小，说明两个分类变量之间关系越弱； |ad －bc|越大，说明两个分类变量之间关系越强．
自主探究 1．如何理解分类变量？
【答案】(1)这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的 变量和值来理解．例如，对于性别变量，其取值有 “ 男 ” 和 “女”两种，这里的“变量”指的是“性别”，这里的“值” 指的是“男”或“女”．因此，这里说的“变量”和“值”不 一定是取具体的数值． (2)在现实生活中，分类变量是大量存在的．例如，吸烟变 量有吸烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别．
2．判断两变量间是否有关系的方法 (1)二维条形图 利用二维条形图，可以粗略地判断两个变量之间是否有关 系(但这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度 )，方法如 下： 在二维条形图中， 可以估计满足条件 X＝x1 的个体中具有 Y a ＝y1 的个体所占的比例 ，也可以估计满足条件 X＝x2 的个 a＋b c 体中具有 Y＝y1 的个体所占的比例 .这两个比例的值相差越 c＋d 大，有关系的可能性就越大．
Байду номын сангаас
解：由列联表中的数据，得 K2 的观测值为 189×54×63－40×322 k＝ ≈10.759>7.879. 94×95×86×103 因此， 在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下， 认为工作态 度与对待企业改革态度之间有关系．
题型三 独立性检验的综合应用 【例 3】 某生产线上，质量监督员甲在生产现场时， 990 件产品中有合格品 982 件，次品 8 件；不在生产现场时，510 件产品中有合格品 493 件，次品 17 件．试利用图形判断监督员 甲在或不在生产现场对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误 的概率不超过 0.001 的前提下认为质量监督员甲在或不在生产 现场与产品质量好坏有关系？
思路点拨：由列联表画出等高条形图，并进行分析，再利 用独立性检验作出判断． 解：根据列联表中所给的数据作出等高条形图，如图所示．
假设血清与预防感冒有关，则从画出的等高条形图可以看 出，试验的个体中感冒的个体所占的比例为 0.496，未试验的个 体中感冒的个体所占的比例为 0.552 ，两者的差别是 |0.496 － 0.552|＝0.056，两者相差太小，因而血清对预防感冒有关系的假 设不成立，从而看出血清对预防感冒的作用不够明显，也就是 说血清对预防感冒几乎没有作用．
【答案】A
2．在列联表中，哪两个比值相差越大，两个分类变量之间 的关系越强( ) a c a c A. 与 B. 与 a＋b c＋d c＋d a＋b a c a c C. 与 D. 与 a＋d b＋c b＋d a＋c
【答案】A
a c |ad－bc| a c 【解析】∵a＋b－c＋d＝ ，∴ 与 相差 a＋b c＋a a＋bc＋d