高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题（考试时间120分钟，总分150分）一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上)1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab2C ．2a－2b<0 D.1a >1b2．sin15°cos45°＋cos15°sin45°等于( ) A ．0B ．21 C ．23 D ．13.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．21B ．23 C.1 D.34.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1015.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 6.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ ） A. 3B. 4C. 5D. 67.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 9．若)4πtan(α-＝3，则tan α 等于( ) A ．－2 B ．21-C ．21 D ．210．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 15＋a 21=8，则a 12等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－211．下列各式中，值为23的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°12．关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－1二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝14. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为15.不等式21131x x ->+的解集是 ． 16. 已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-，则{}n a 的通项公式 三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）17. （10分）(1) 解不等式0542<++-x x ，(2)求函数的定义域：5y =18．（12分）等差数列{}n a 满足 212=a ，155=a ，求通项n a 及前n 项和的最大值．19.(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b是方程220x -+=的两个根， 且2()1coc A B +=。

求：(1)角C 的度数；(2)AB 的长度20．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈.（1）求证)(x f 的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．21、（12分）在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+．（Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．22．（12分）某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限（即年平均费用最小）是多少年？并求出年平均费用的最小值．高中数学必修5解三角形、数列、不等式参考答案一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上)1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( C )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C ．2a －2b <0 D.1a >1b2．sin15°cos45°＋cos15°sin45°等于( C ) A ．0B ．21C ．23D ．13.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ B ） A ．21 B ．23 C.1 D.34.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ D ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1015.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ B ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 6.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 （ C ） A. 3B. 4C. 5D. 67.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ A ）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ C ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 9．若)4πtan(α-＝3，则tan α 等于( B ) A ．－2 B ．21-C ．21 D ．210．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 15＋a 21=8，则a 12等于（ C ）A ．1B ．－1C ．2D ．－211．下列各式中，值为23的是( B ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°12．关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（ D ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－1二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC14. 不等式组260302x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 115.不等式21131x x ->+的解集是1{2}3x x -<<-．16. 已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-，则{}n a 的通项公式232n n a -=⋅ 三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）17. （10分）(1) 解不等式0542<++-x x ，(2)求函数的定义域：5y = （1）{15}x x x <->或 (2) {21}x x x <-≥或18．（12分）等差数列{}n a 满足 212=a ，155=a ，求通项n a 及前n 项和的最大值． 解：()m n a a m n d =+-522111(52)152132(21)23(1)23(1)(2)252n a a d d d a a d a a a n d n n =+-⇒=+⇒=-=+-⇒=∴=+-=+-⨯-=-2525202n a n n =-≥∴≤∴当12n =时，(max)1(1)12111223(2)14422n n n S na d -⨯=+=⨯+⨯-= 19.(12分) ．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22.因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝2＋64. 故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝6. 20．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈.（1）求证)(x f 的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间． 解：（1）2cos cos 1y x x x=+cos 2112x+=+11cos 22122x x =++ 3sincos 2cossin 2662x x ππ=++3sin(2)62x π=++)(x f 的小正周期为π，最大值25，最小值21（2）因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈21、（12分）在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+．（Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）122nn n a a +=+，11122n nn n a a +-=+，11n n b b +=+， 则n b 为等差数列，11b =，n b n =，12n n a n -=． （Ⅱ）122122)1(232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-两式相减，得122222212121+-⨯=----⨯-⨯=-n n n nn n n S22．（12分）某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限（即年平均费用最小）是多少年？并求出年平均费用的最小值．[解析]设这台机器最佳使用年限是n 年，则n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：,203)1(1.04.03.02.02nn n +=++⋅⋅⋅+++2072.7203n 0.2n 0.27:22nn n ++=++++∴总费用为，),2.720(0.35207n 7.2y :2nn n n n ++=++=∴年的年平均费用为 ,2.1202.722.720=≥+n n等号当且仅当.12n 2.720时成立即==n n )(55.12.135.0min 万元=+=∴y。