2010年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.(2010全国Ⅱ卷文)若曲线b ax x y ++=2在点（0，b ）处的切线方程是10x y -+=则()（A ）a=1，b=1（B ）a=-1，b=1（C ）a=1，b =－1（D ）a=-1，b=-1【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =2.(2010全国Ⅱ卷理)若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（）（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.3.(2010全国新课标卷文)曲线3y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（）（A）1y x =-（B）1y x =-+（C）22y x =-（D）22y x =-+解析：'2y 32,1,1x k y x =-∴==-切线方程为，选A命题意图：本题考查导数的几何意义4.(2010全国新课标卷理)曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A 【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义5.(2010江西理)等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =--- ，则()'0f =（）A．62 B.92 C.122 D.152【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

考虑到求导中，含有x 项均取0，则()'0f只与函数()f x 的一次项有关；得：412123818()2a a a a a a ⋅⋅== 。

【答案】C6．(2010江西文)若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B7.(2010江西理)如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。

最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。

8、(2010湖南理)421dx x⎰等于()A、2ln 2-B、2ln 2C、ln 2-D、ln 29.(2010辽宁文、理)已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）(A)[0,4π)(B)[,42ππ（C）3(,24ππ(D)3[,)4ππ解析：选D.2441212x x xx x e y e e e e'=-=-++++，12,10xx e y e '+≥∴-≤< ，即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。

10．(2010福建理)对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m h x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”。

给出定义域均为D={}1x x >的四组函数如下：①2()f x x =，()g x =；②()102xf x -=+，()g x =23x x-;③()f x 21x x +,()g x =ln 1ln x x x+;④22()1x f x x =+，()2(1)xg x x e -=--．其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【答案】C【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 进行做答，是一道好题，思维灵活。

【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 。

对于○1，当1>x 时便不符合，所以○1不存在；对于○2，肯定存在分渐近线，因为当时，0)()(→-x g x f ；对于○3，x x x g x f ln 11)()(-=-，设01)(",ln )(2>=-=xx x x x λλ且x x <ln ，所以当∞→x 时x x ln -越来愈大，从而)()(x g x f -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；○4当0→x 时，022112)()(→+++-=-x e x x g x f ，因此存在分渐近线。

故，存在分渐近线的是②④选C11.(2010山东文)已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）（A）13万件(B)11万件(C)9万件(D)7万件12.(2010山东文)观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（）（A）()f x (B)()f x -(C)()g x (D)()g x -【答案】D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D。

【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识，考查同学们类比归纳的能力。

13.(2010山东理)由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为()（A ）112(B)14(C)13(D)712【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1230-)=x x dx ⎰（11111=3412⨯-⨯,故选A 。

【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。

二、填空题：1、(2010江苏)函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =，所以1135,1641212kk a a a a a +=++=++=。

2、(2010江苏)将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是________。

[解析]考查函数中的建模应用，等价转化思想。

一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为x，则：222(3)(01)1x S x x -==<<-（方法一）利用导数求函数最小值。

22(3)()1x S x x -=-，2222(26)(1)(3)(2)()(1)x x x x S x x -⋅---⋅-'=-222222(26)(1)(3)(2)2(31)(3)(1)(1)x x x x x x x x -⋅---⋅----==--1()0,01,3S x x x '=<<=，当1(0,3x ∈时，()0,S x '<递减；当1[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增；故当13x =时，S的最小值是3。

（方法二）利用函数的方法求最小值。

令1113,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈，则：222186681t S t t t t==-+--+-故当131,83x t ==时，S的最小值是3。

3.(2010陕西理)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M 取自阴影部分部分的概率为13解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为1321=⎰dx x ，所以点M 取自阴影部分部分的概率为134.(2010四川理)下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）解析：由图象及函数连续的性质知，D 正确.答案：D三、解答题：1.(2010安徽文)设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值。

1.【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.1.（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：由()sin cos 1,02f x x x x x π=-++<<，知()cos sin 1,f x x x '=++于是23()0,sin(),.422f x x x πππ'=+=-=从而得或x=当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：因此，由上表知()f x 的单调递增区间是(0,)(,2)2ππ与，单调递减区间是(,2π，【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.2、(2010安徽理)设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R 。