回归课本(十三) 极限一．考试内容：教学归纳法.数学归纳法应用.数列的极限.函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.二．考试要求：(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 三．基础知识:1.特殊数列的极限（1）.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限（1）1lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，011lim x x x x →=.若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).四．基本方法和数学思想1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。

数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。

第二步证明时要一凑假设，二凑结论；2. 数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：C C n =∞→lim （C 为常数）；01lim =∞→nn ，0lim =∞→nn q （a <1,q 为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1（0<1<q ）;3.函数的极限：（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim（2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 0: （3）掌握函数极限的四则运算法则； 4.函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；五．高考题回顾一.数列的极限1. 计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =_________。

2. (湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim111()= A ．2 B ．23 C ．1 D ．213. （山东）22223lim __________(1)2n n n n C C n -→∞+=+A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件6. （全国卷Ⅲ）22111lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭( )A 12-B 12C 16-D 167. （湖北卷）若1)11(lim 21=---→x b x a x ，则常数b a ,的值为A ．4,2=-=b aB ．4,2-==b aC ．4,2-=-=b aD ．4,2==b a三、无穷递缩等比数列各项和：8（04年上海卷.4）设等比数列)(}{N n a n ∈的公比21-=q ，且)(lim 12531-∞→+⋅⋅⋅+++n n a a a a 38=，则=1a . 9.（04年重庆卷.理15）如图P 1是一块半径为11端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..P n …,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ___n x S →∞=.六.课本中习题归纳一 数学归纳法及其应用1(1)135(21)n +++⋅⋅⋅+- = ; (2) 211222n -+++⋅⋅⋅+= ;(3)2222123n +++⋅⋅⋅+= ;(4)1427310(31)n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++= ; (5)3333123n +++⋅⋅⋅+= ;(6)2222135(21)n +++⋅⋅⋅+-= ;(7)1111133557(21)(21)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-+= ; (8)123234345(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++= . 2下列说法不正确的是(n 为正整数)A,22n n x y -能被x y +整除. B,n nx y -能被x y -整除.C,35n n +能被6整除. D,333(1)(2)n n n ++++不一定能被9整除.3平面内有n (2n ≥)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,设交点的个数为()f n .(I)试求(2)f ,(3)f ,(4)f 的值;(II)猜测()f n 的值,并给予证明.4平面内有n (2n ≥)个圆,其中每两个圆都相交两点,每三个圆都无公共点,设交点的个数为()f n .(I)试求(2)f ,(3)f ,(4)f 的值;(II)猜测()f n 的值,并给予证明.二 极限及其运算5(1)5lim(7)10n n →∞-= ;(2)1lim n n n →∞+= ;(3)2(1)lim (1)n n nn →∞-+= ; (4)1lim ()2x x +→∞= ;(5)21lim()2x x →= ;(6)2211lim 21x x x x →---= ;(7) 24lim()1n n n n →∞--+= ;(8)32lim 32n n n n n →∞+-= ;(9)1x →= ;(10)lim )x x +→∞= ;(11)111lim[(1)(1)(1)]23n n n→∞--⋅⋅⋅-= .6设函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则0lim ()x f x +→= ; 0lim ()x f x -→= ; 0lim ()x f x →= .7已知0a >,则1lim 1n n a →∞+= ;lim 1nnn a a →∞+= .8下列说法正确的是A,若()f x =,则lim ()0x f x →∞=; B 若()f x =则1lim ()0x f x →=; C 若22()2x x f x x +=+,则2lim ()2x f x →-=-;D,若0)()1(0)x f x x x ≥=+<⎪⎩,则0lim ()0x f x →=.9下列函数在1x =处没有极限的是A,32()1x x f x x -=- B,3()21g x x =+C,2(1)()0(1)x x h x x ≥⎧=⎨<⎩ D,1(1)()1(1)x x v x x x ->⎧=⎨-+<⎩10在求2123lim n nn →∞+++⋅⋅⋅+时,甲,乙两位同学得到如下两种不同的解法:(甲) 解:2123lim n n n →∞+++⋅⋅⋅+ (乙) 2123lim n nn →∞+++⋅⋅⋅+=2222121lim()n nn n n n →∞+++⋅⋅⋅+ =21(1)2lim n n n n →∞+=0+0+0+⋅⋅⋅+0=0 =1lim 2n n n →∞+=12我认为 的解法是错误的,错因是 .11在半径为R 的圆内接正n 边形中,n r 是边心距,n p 是周长,n S 是面积(n=3,4,⋅⋅⋅).(I)试求n S 与n r ,n p 之间的关系;(II)求lim n n S →∞.12从BAC ∠的边上一点1B 作11B C AC ⊥于1C ,从1C 再作12C B AB ⊥于点2B ,从2B 再作22B C AC ⊥于点2C ,这样无限进行下去⋅⋅⋅.已知11B C =5,12C B =4. (I)试求22B C 的长; (II)求1112lim()n n n B C C B B C →∞++⋅⋅⋅+.三 函数的连续性13如图,在A,B,C,D 这四个图象所表示的函数中,在点x a =处没有定义但极限存在的是 ;在点x a =处有定义,有极限,但不连续的是 ;lim ()()x af x f a →=的是 ;在点x a =处没有极限的是 .14要使函数26()3x x f x x +-=+在点3x =-处连续,需添加的条件是 .15设函数2sin (0)()1(01)(1)x a x f x x x b x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩在定义区间内连续,则a b += .。