思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时， 即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Ty对 y轴的斜率.
yx
be ax
sin by
x
abe ax
sin by.
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
定理 如果函数z f (x, y)的两个二阶混合偏导数
2z yx
及
2z xy
在区域
D 内连续，那末在该
区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 10 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉斯
2x
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u x 2
x2
x
y2
x
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u y2
x2
y
y2
y
(x2 y2) y ( x2 y2 )2
2y
x2 y2 ( x2 y2 )2
.
于是，
2u x 2
2u y2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
例7
设 r(x, y, z)
x2 y2 z2 。求
r x
,
r z
.
解
r x
2
2x x2 y2 z2
x x2 y2 z2
x r
.
y、z 看成常量
r z
2
2z x2 y2 z2
z x2 y2 z2
z r
.
x、y 看成常量
３、偏导数存在与连续的关系
解
z x
2x 3 y;
z y
3x2y.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
z x
x1 21 32 8,
y2
z y
x1 31 22 7.
y2
例 2 求 z x2sin2 y的偏导数．
解
z x
2
xsin 2
y;
z y
2
x
2
cos2
y
.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
例 3 设 z x y ( x 0, x 1)，求证
x
2z x 2
3z x 3
f xxx( x, y),
x
2z y2
3z y2x
f yyx ( x, y),
y
2z xy
3z xyy
f xyy ( x, y),
x
n1z y n1
nz y n1x
.
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例 8 设 z x3 y2 3 xy3 xy 1， 求 2z 、 2z 、 2z 、 2z 及 3z . x2 yx xy y2 x3
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结
一、偏导数的定义及其计算法
定义
设函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻域内有
定义，当 y固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
函数对 x 的偏增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
x2 y2 | y|
y2 ( x2 y2 )3
| y| x2 y2
.
( y2 | y|)
z y
1
1
x2 x2 y2
x x2 y2 y
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z
不存在．
y x0
y0
例 5 已知理想气体的状态方程 pV RT （ R为常
f y(x,
y)
xy x2 y2
y
x ( x2 y2) 2 y xy ( x2 y2 )2
x( (x
x
2
2 y2) y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
y0
f (0, 0 y) y
f (0, 0)
lim
y0
00 y
0.
于是，
f
y
(
x,
y)
x(x2 y2) ( x2 y2 )2
lim
z0
f
( x, y,zz) z
f
(x, y,z) .
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。
求
f x
时， 只要把 x
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数．
如果 lim
x0
f
( x0 x, y0 ) x
f
( x0 , y0 )
存在，则称
此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
， f xx0 x
y y0
xx0 ， zx
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f x
lim
xx0 x0
x yz xFra bibliotek1 ln x
z y
2z .
证
z x
yx y1,
z y
x y ln x,
x y
z x
1 ln x
z y
x y
yx y1
1 ln x
x
y ln x
xyxy
2z. 原结论成立．
例4
设 z arcsin
x ，求 z ， z .
x2 y2
x y
解
z x
1
1
x2 x2 y2
x x2 y2 x
u x
eax cosby
x
aeax cos by,
u
y
eax cosby
y
beax sin by;
2u
x 2
aeax
cos by
x
a2eax cos by,
2u
y2
beax sin by
y
b2eax cos by,
2u
xy
aeax cosby
y
abeax sin by,
2u
一元函数中在某点可导
连续。
多元函数中在某点偏导数存在
连续。
例如，函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
0,
x2 y2 0, ,
x2 y2 0.
依定义知在(0, 0)处， f x (0, 0) f y (0, 0) 0.
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在
连续.
4、偏导数的几何意义
设 M0( x0, y0, f ( x0, y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点,
2z
xy
3x2y2 3y3 y
y
6x2 y 9 y2 1,
2z
yx
2 x3
y
9 xy 2
x
x
6x2 y 9 y2 1.
2z
y2
2x3 y 9xy2
x
y
2x3 18 xy;
3z
x 3
6 xy 2
x
6y2,
例 9 设u eax cos by ，求二阶偏导数.
解
数），求证： p V
V T
T p
1.
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V
RT p
V T
R p
;
T
pV R
T p
V R
;
p V