2019年中考数学真题分类训练——专题14：图形的相似一、选择题1．（2019邵阳）如图，以点 O 为位似中心，把△ ABC 放大为原图形的 2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中 错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上C ．∶′=1∶2AOAAD ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C2．（2019温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM=BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（+）（﹣ ）=2﹣ 2，现以点 F 为圆心， FE 为半径作圆弧交线段 于点 ，连结 ，记△ 的面abab a b DH P EP EPH 积为S1，图中阴影部分的面积为 S2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则 S1的值为S 2A ． 2B ． 22 32C．4【答案】C3．（2019淄博）如图，在△则△ABD的面积为A．2aC．3a【答案】C4．（2019杭州）如图，在△重合），连接 AM交DE于点A．ADANAN AEC．DNNEBM MC【答案】C2D．6ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，B．5a2D．7a2ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C N，则BD MNB．MN CEDN NED．MC BM5．（2019玉林）如图， AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有A．3对B．5对C．6对D．8对【答案】C6．（2019常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D7．（2019凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B8．（2019赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C9．（2019重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C10．（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】B11．（2019安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B12．（2019兰州）已知△ ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BC=B'C'A．2 B．4C．3 D．1639【答案】B13．（2019常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2C．4∶1 D．1∶4【答案】B二、填空题14．（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为 1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为__________m．【答案】5415．（2019台州）如图，直线l 1∥2∥3，，，分别为直线l1，2，3上的动点，连接，，，线l l ABC l l ABBCAC段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l 2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且m 2 ，则m+n的最大值为__________．n 325【答案】16．（2019南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．【答案】1017.(2019) 烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO 的顶点坐标分别为A （-2，-1），B （-2，-3），O （0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5， 1），△ 与△ 111是以点 P 为位似中心的位似图形，则 P 点的坐标为__________． ABO ABO【答案】（-5，-1）18.(2019)本溪）在平面直角坐标系中，点 A ，B 的坐标分别是 A （4，2），B （5，0），以点O 为位似中心，相似比为1，把△ABO 缩小，得到△A1B1O ，则点A 的对应点A1的坐标为__________．2 【答案】（2，1）或（-2，-1）19．（2019宜宾）如图，已知直角△ ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16520．（2019河池）如图，以点O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△ OCD ，OA=2，AC=3，则AB=__________．CD【答案】2521．(2019淮安）如图， l 1 ∥ 2 ∥ 3，直线 a 、 b 与 l 1、 2、 3分别相交于点 、、 和点 、、．若 =3， l l l l ABC DEF AB DE=2，BC=6，则EF=__________．【答案】4 三、解答题22．（2019福建）已知△ ABC 和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC ，且△A'B'C'的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、 B'C'、C'A'的中点，求证：△ DEF ∽△D'E'F'．解：（1）作线段 A'C'=2AC 、A'B'=2AB 、B'C'=2BC ，得△A'B'C'即可所求．∵A'C'=2AC 、A'B'=2AB 、B'C'=2BC ，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴S △A'B'C'(A'B')24．S △ABC AB（2）如图，∵D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，∴DE1BC ，DF 1AC ，EF 1AB ， 2 22∴△DEF ∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'， 由（1）可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴△DEF ∽△D'E'F'．23．（2019绍兴）如图，矩形 ABCD 中，AB=a ，BC=b ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ， AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k=MN ：EF ．（1）若： b 的值为 1，当⊥ 时，求 k 的值．a MNEF （2）若a ：b 的值为 1，求k 的最大值和最小值． 2（3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠ MPE=60°，MP=EF=3PE 时，求a ：b 的值．解：（1）如图1中，作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，∵AB=CB，∴FH=MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°，∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN=EF，∴k=MN：EF=1．（2）∵a：b=1：2，∴b=2a，由题意：2≤5a ，≤EF，aMN a5a∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值为5，当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为25．5 （3）连接FN，ME．MN EF∵k=3，MP=EF=3PE，∴3，PM PEPN PF∴2，PM PE∴△PNF∽△PME，NF PN∴2，ME∥NF，ME PM设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与点B重合．过点F作FH⊥BD于点H．∵∠=∠=60°，MPE FPH∴PH=2m，FH=23m，DH=10m，∴a AB FH 3．b AD HD 5②如图 3中，当点N与点C重合，过点E作EH⊥MN于点H．则PH=m，HE3m，∴=+=13，∴tan∠HCE MB HE 3，HCPHPCmBC HC 13 ∵ME∥FC，∴∠MEB=∠FCB=∠CFD，∵∠B=∠D，∴△MEB∽△CFD，∴CD FC 2，∴a CD 2MB 23，MB ME b BC BC 13综上所述，a：b的值为3或23．5 1324．（2019凉山）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．2（1）求证：BD=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．解：（1）证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴ADBD，BD CD2∴BD=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，2 2∵BD=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD=48，2 2 2∴BC=BD-CD=12，2 2 2∴MC=MB+BC=28，∴MC=2 7，∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，∴BM MN 2 ，且MC=27，CD CN 3∴MN=47．525．（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC 上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段 BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．解：（1）证明：如图1，由正方形 PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴NP AE，即PN h PN，BC AD a h解得PN ah．a h（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，∴四边形PQMN为矩形，∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，∴NM'∥NM，∴△BN'M'∽△BNM，∴N'M'BN'，同理可得NMBN∴N'M' P'N' .NM PN N'P'=BN'，NP BN∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，∴四边形PQMN为正方形．（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，∴ER=RM=1EM，2又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，∴∠EQM=∠EMN.又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM ， ∴△EQM ≌△RMN （AAS ）， ∴EQ=RM ，∴EQ=1EM ，2∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°， ∴∠BEQ=∠EMB ， 又∵∠EBM=∠QBE ，∴△BEQ ∽△BME ，∴BQ BE =EQ 1 ． BEBMEM2设BQ=x ，则BE=2x ，BM=4x ，∴QM=BM –BQ=3x=MN=NE ，∴BN=BE+NE=5x ， ∴BN= 5NM=5ah．3 3a 3h26．（2019巴中）△ABC 在边长为 1的正方形网格中如图所示．①以点C 为位似中心，作出△ ABC 的位似图形△A1B1C ，使其位似比为 1∶2．且△A1B1C 位于点C 的异侧，并 表示出A1的坐标．②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转 90°后的图形△A2B2C ．③在②的条件下求出点 B 经过的路径长．解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）．②如图，△A2B2C为所作．③OB=124217，点B 经过的路径长=90π1717 ．180 2π27．（2019衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求EF的值．DF（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？解：（1）∵平分∠，∠=60°，AD BACBAC∴∠DAC1∠BAC=30°，2在Rt△ADC中，DC=AC?tan30°=633．23（2）由题意易知：BC=63，BD=43，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM，∵AM=DM，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF=AG，由DE∥AC，得△BFE∽△BGA，∴EFBEBD，AGABBC∴EF EF BD 4 3 2 ．DF AG BC 6 3 3（3）∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．①当⊙Q与DE相切时，如图1，过点Q作QH⊥AC于H，并延长HQ与DE交于点P．连结QC，QG．设⊙Q的半径QP=r．则QH 1 r，r 1 r=23，2 2解得r 4 3，∴CG4 33 4，AG=23 3，易知△DFM∽△AGM，可得DM DF 4 ，AM AG 3∴DM4，∴DM163．7 7②当⊙Q经过点E时，如图2，过点C作CK⊥AB，垂足为K，设⊙Q的半径QC=QE=r．则QK=3 3–r.在Rt△EQK中，12+（33 r）2=r2，解得r 143，9∴CG143 3 14，9 3易知△DFM∽△AGM，可得DM143．5③当⊙Q经过点D时，如图3中，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，可得DM=4 3．∴综上所述，当DM 163或143 ≤43时，满足条件的点P只有一个．7 5＜DM28．（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2m，BD=2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为 1.6m，试确定楼的高度OE．解：如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE 于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴ACMAMO，FGMFMH即：AC OE OE OE，BDMH MOOH OEBF∴OE 2，∴OE=32，OE1.6 2.1答：楼的高度OE为32米．29．（2019安徽）如图， Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．证明：（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB，又∵∠APB=∠BPC=135°，∴△∽△．PAB PBC（2）∵△PAB∽△PBC，∴PA PB AB，PB PC BC在Rt△ABC中，AB=AC，∴AB 2 ，BC∴PB 2PC，PA 2PB，∴PA=2PC．（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°，又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，∴∠EAP=∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴PE AP h32，∴3 2，DP PC 2，即h2h =2hh1AB2 ，∵△PAB∽△PBC，∴BCh2∴h12h2，2 22h2h22=h·h．∴h12h2h2h3．即h1 2 330．（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）AB BC CD（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，= ．求A1B1B1C1C1D1证：四边形 ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S2S1的值．解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真．（2）证明：如图1中，连接 BD，B1D1．BC CD∵∠=∠111，且，BCDBCDC1D1B1C1∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，AB BC CD BD AB∵B1C1C1D1，∴，A1B1B1D1A1B1∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠ABD=∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，AD AB∴，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，A1D1A1B1AB BCCDAD∴B 1C 1C 1D 1，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1， A 1B 1A 1D 1∴四边形 与四边形 1111相似．ABCD ABCD（3）证明：∵四边形 ABCD 与四边形EFCD 相似．∴DEEF ，AEAB∵EF=OE+OF ，∴DEOE OF ，AE AB∵∥ ∥ ，EF ABCD ∴ DE OE DE OC OF DE DE OE OF 2DE DE AD AB ， AB ，∴ AD AD AB ，∴ AD ， AD AB AB AE∵AD=DE+AE ， ∴DE 2 1， AE AE∴2AE=DE+AE ，∴AE=DE ，∴S1=1．S 2。