13.1 半径为R 的均质圆轮质量为m ，图a ，b 所示为圆轮绕固定轴O 转动，角速度为ω，图c 所示为圆轮在水平面上作纯滚动，质心速度为v 。

试分别计算它们的动能。

解：（a ）圆轮绕固定轴O 转动，动能为 22223,21mR mR J J J T C O O =+==ω导得 243mR T = （b ）圆轮绕固定轴O 转动，动能为2221,21mR J J T O O ==ω导得 241mR T = （c ）圆轮在水平面上作纯滚动，由König 定理，动能为22221,,2121mR J R v J mv T C C ==+=ωω导得 243mR T =13.2 图示均质杆长l ，质量m ，绕点O 转动的角速度为ω，均质圆盘半径为R ，质量m 与杆相同，求下列三种情况下系统的动能：（a ）圆盘固结于杆；（b ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω-；（c ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω。

解：（a ）圆盘固结于杆，则圆盘的运动为绕点O 转动，角速度为ω，则系统动能为 222221222121,121,2121ml mR ml J J ml J J J T A +=+==+=ωω导得 22212132121ωm l R T ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（b ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω-，则圆盘的绝对角速度等于零，则系统动能为l v ml J mv J T A A ωω==+=,121,212121221导得 222413ωml T = （c ）圆盘绕轴A 转动，相对于杆的角速度为ω，则圆盘的绝对角速度等于2ω，则系统动能为()l v mR J ml J J mv J T A A ωωω===++=,21,121,2212121222122221导得 2222121321ωm R l T ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 13.3 输送器A 以10m/s 的速度沿轨道运动如图示，其上用轻杆吊一重450N 、半径为0.3m 的均质圆盘。

若圆盘以5rad/s 的角速度转动，试计算圆盘在此瞬时的动能。

解：均质圆盘作平面运动。

C （基点A ）：i v v v )(A CA A C l v ω+=+=圆盘动能：m N 5.62762121)(212121222A 2C 2C ⋅=++=+=ωωωr g W l v g W J mv T13.4 均质杆CD 和EA 分别重50N 和80N ，铰接于点B 。

若杆EA 以2rad/s =ω绕A 转动，试计算图示位置两杆的动能。

解：B （基点D ）：BD D B v v v +=m/s)(34.13B D ==v vm /s)(8.22B BD ==v v ，rad/s)(314CD =ωO 点为CD 杆的瞬心，)m/s (37.01CD C 1=ω=OC v则 )m N (44.5131212AE AE AE ⋅=ω=g W T )m N (50.79.012121212CD 2CD 2C CD CD 1⋅=ω+=g W v g W T13.5 图示机构中，曲柄OB 以r/min 0003=ω转动。

设m 6.03==r l ，杆AB 重2N ，求θ为任意位置时连杆AB 的动能，并计算 30=θ和 60时的数值。

解：设多余坐标ϕ，与θ存在以下关系θ=ϕcos sin r l 则有ωϕθ-=ϕ)cos /sin (r l 因 ϕ-θ=sin )2/(cos C l r x ，ϕ+θ=cos )2/(sin C l r y可得)sin()2/()(222C 2C 2C ϕ-θϕθ+ϕ+θ=+= rl l r y x v]cos /)sin(sin )cos /(sin 311[211212*********C AB ϕϕθθϕθωϕ--+=+=r g W l gW v g W Tm)N (91.9|30AB ⋅==θ Tm)N (92.5|60AB ⋅==θ T13.6 重量为W 的鼓轮沿水平面做纯滚动如图示，拉力F 与水平面成 30角。

轮子与水平面之间的静摩擦因数为s f 滚阻系数为δ，求轮心C 移动距离为x 的过程中力的功。

其中r R 2=。

解：受力分析：作用与鼓轮的外作用力系为重力、拉力、地面法向约束力、滑动摩擦力和滚阻力偶，如图所示。

因为0=C y ，所以 030sin N =+-F W F ()()30sin ,30sin ,30sin T N F W M F W f F F W F -=-=-=δ 拉力所做的功（将力向轮心简化，得到一力和一力偶）： R x Frx F A +⋅= 30cos F滑动摩擦力所做的功： 0T T F T =+-=R x RF x F A滚阻力偶所做的功： ()R x F W R x MA M 30sin --=-=δ13.7 图示机构水平放置。

均质杆AB 重量为20kg ，长为2m ，其两端铰接两质量为5kg 、半径为300mm 的相同齿轮G 和H （可看作均质圆盘）。

若在齿轮H 上作用一力偶m N 5⋅=M ，求系统由静止开始运动20s 后齿轮H 的角速度。

解：因2/B l r v ω'=ω=故 ω=ω'3.0系统：A T T =-0θ=ω+ω+ω''M r m mr l m ])(212121[21212122222 对上式求导，注意到ω=θ ，α=ω，导出 2rad/s 564.2=α齿轮H 的角加速度α为常值，则角速度ω为rad/s 28.51=α=ωt13.8 一复摆绕点O 转动如图示，点O 离开其质心O '的距离为x 为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速度。

解：复摆：A T T =-0mgx J x m =ω+ω'2O 221)(21 解出)/(2O 22'+=ωJ mx mgx令 0)/()(2/2O 22O 2=+-=∂ω∂''J mx mx J mg x求得 2O O 2''ρ==m J mx即O 'ρ=x 时ω有极值：O /'ρ=ωg因为 0)/()3(4/3O 2O 2222<+--=∂ω∂''J mx J mx gx m x 此ω为最大角速度。

13.9 等长、等重的三根均质杆用理想铰链连接，在铅垂平面内摆动。

求自图示位置无初速释放时杆AB 中点C 的加速度，以及运动到平衡位置时C 的速度。

设杆长m 1=l 。

解：系统：A T T =-0)cos (cos 2)(21312120222θ-θ=θ+θ⋅mgl l m ml对上式求导并令 45=θ，解出2C m/s 316.8sin 56-=θ-=θ=g l a将0=θ， 450=θ代入动能定理，求得 m/s 625.25/)22(6C -=--=θ=gl l v13.10 绕水平轴O 转动的滑轮上放一软链如图示。

稍有扰动时，软链即下滑而带动滑轮转动。

求软链脱离滑轮时的速度。

设软链重G ；滑轮重W ，半径为R ，可看作均质圆盘。

解：系统：A T T =-0)22()(212121222R R G R v R g W v g G π+π=+由上式解得 )2/()22(4W G G gR v +π+π=13.11 均质杆长l 2，在光滑水平面上从铅垂位置无初速地倒下如图示。

求其重心C 离开平面的高度为h 时的速度。

解：水平方向杆不受力作用，质心C 将铅垂下落，P 为杆速度瞬心，杆角速度为22C C //h l v PC v -==ω （1）杆AB ：A T T =-0)()2(1212121222C h l mg l m mv -=ω+将式（1）代入，解得 )34/()(6)(22C h l h l g h l v -+-=13.12 将一均质半圆球放于光滑的水平和铅垂平面之间，并使其底面位于铅垂位置如图示。

今无初速地放开。

求半圆球转过 90，即当其底面位于水平位置时其质心C 的速度，并证明此后半圆球将继续侧转的最大角度)128/45arccos(=θ。

解：C （基点O ）：n CO CO O C a a a a ++=τϕ+ϕ+=τcos sin n CO CO O Cx a a a a半球在转过 90过程中，0Cx >a ，由N1Cx F ma =可知01N >F ，即在此过程中半球绕O 作定轴转动：半球：A T T =-0，r mg mr 83522122=ω r g 8/15=ω，8/158383C gr r v =ω=90=ϕ（即 0=θ）后，半球作平面运动，由于水平方向无外力作用，质心水平速度保持不变。

半球：A T T =-0θ=cos 83212C r mg mv ，（0=ϕ为初始状态）解得)128/45arccos(=θ13.13 均质杆AB 长l ，重1W ，上端B 靠在光滑墙上，下端A 铰接于车轮轮心。

车轮重2W ，半径为r （可视作均质圆盘），在水平面上只能作纯滚动，滚动阻力不计。

设系统有图示位置（45=θ）开始运动，试用能量守恒定律计算此瞬时轮心A 的加速度。

解：AB 杆的速度瞬心为P ，则有θ==θcos //A A l v PA v ，θ= )2/(C l v （1）系统：const =+V T （取A 为重力势能零点）const cos 221)(2121211212112A 22A 222C 1221=θ++++θl W v g W r v r g W v g W l g W将式（1）代入上式，对时间求导得 0tg 21cos 3sin )23cos 3(112A 41A 221=θ-θθ-+θW l v g W a W W g将 45=θ，0A =v 代入上式，解出)94/(3211A W W g W a +=13.14 长l 、重W 的三根相同的均质杆用理想铰链连接如图示，在铅垂平面内运动。

一质量不计、刚度系数为k 的弹簧，一端与BC 杆的中点E 连接，另一端可沿光滑铅垂导槽滑动。

杆AB 和CD 与墙垂直时，弹簧不变形。

求系统在此瞬时有静止释放时杆AB 的角加速度。

解：系统为一自由度，设θ为广义坐标。

系统：A T T =-0 202022022)]cos 1([21)sin (sin 2])()[(21)(31212θθθθθθθ---=-+-⋅l k Wl l l g W l g W将上式对时间求导，导出 θθ--θ=θsin )cos 1(cos 2352kl Wl l g W将 0=θ代入上式，解得l g 5/6=θ13.15 一台阶圆柱大、小圆半径分别为1.3m 和0.6m ，质量为36kg ，对于转动轴的回转半径为1m 。