21.1 一元二次方程【教学目标】知识与技能1.了解整式方程的意义，理解一元二次方程及其有关概念；2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容；3.了解一元二次方程根的意义和用法。

过程与方法1.通过对黄金分割以及身边的实际应用例子的展示，一方面让学生了解对应用问题的处理方法，另一方面，通过这类方程和前面所学的方程的比较，让学生学会学习新知的方法——类比法；2.通过对类比法的说明，培养学生观察、分析、比较和归纳问题的意识；3.通过对学生从现实生活中发现数学的过程，体会数学建模的应用。

情感、态度与价值观1.经历在应用过程中归纳概念的过程，培养学生体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力，逐步感知数学的应用能力和数学美。

2.通过对一元二次方程定义的讲解，培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。

【教学重难点】重点：一元二次方程的概念和一般形式。

难点：正确识别一元二次方程和列一元二次方程。

【教法与学法导航】✿教学方法激趣法、诱导法、探究与讨论法、设问法、归纳法✿学习方法：动手操作法，自主探究法，互动学习法，发现法，合作探究与讨论归纳法【教学准备】✿教师准备：PPT课件（开头的应用问题、一元二次方程的特点、练习题、板书设计等内容），每个学生一份长10cm,宽5cm的矩形纸各一张。

✿学生准备：刻度尺剪刀【教学过程】一、问题探索—导入新知（一）利用多媒体展示问题1和问题2：（师：请同学们思考大屏幕上这两个问题）问题1.如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个统一的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（生：思考问题同时，师：向每个学生发一张长10cm,宽5cm 的矩形纸。

）（二）探究与思考：1.操作一下，怎样折成一个无盖纸盒？（师引导生思考后动手操作一下）2.折成无盖方盒后，如果设铁皮的各角应切去边长为xcm 的正方形．怎样列方程？提示：易知，底面矩形的长和宽分别是（100-2x ）cm 和（50-2x ）cm ，然后根据方盒的底面积是3600cm 2列方程求解．即根据题意得：（100-2x ）（50-2x ）=3600，化简得x 2-75x+350=0。

（结合生折合的无盖纸盒，师引导其列出方程.）3.如果设底面长为xcm ，可怎样列方程？(继续探究，思维拓展)4. 对于问题2，若设比赛组织者应邀请x 队参赛，则每个队参加多少场比赛，则共有多少场比赛，如何列方程求解。

生：通过思考，交流合作列出方程并期待师给出正确评价.师：请同学们把方程左边按未知数的降幂排列，右边为0.即.056x ,74)1(212=--⨯=-x x x 整理后得 设计意图：这两个问题都是通过列方程来解的应用题。

一是为了化解本章的难点，让学生先接触一些比较简单的应用题，通过解题培养自信；另一方面，通过常规的解应用题的步骤，得到一元二次方程。

故意让学生出现卡壳的现象，这为进一步探究新方程服务。

二、对比交流—探究新知（利用多媒体展示问题1和问题2所列出的两个方程及三个有关的问题） 师：请同学们观察由问题1和问题2所列出的两个方程：x 2-75x+350=0,x 2-x-56=0.1.观察这两个方程的结构特点，它们的未知数的个数和最高次数各是多少？它们有什么共同点？2.对比以上三个方程与一元一次方程，它们有什么区别？由此，你能得到关于一元二次方程的特征吗？3.根据这个特征，你能给一元二次方程下个定义吗？（生：思考中. 师：板书课题.）设计意图：让学生自己进行对比研究，比较现在的方程与以前的有什么异同。

通过对照，意在让学生通过讨论、归纳，科学而全面地得到一元二次方程的概念。

根据学生讨论、交流，得到一元二次方程及其相关量的概念（师：板书一元二次方程的定义）（一）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

师：根据这个定义，我们能识别一元二次方程吗？（多媒体展示例1，并引导生完成例1的解答.）例1.判断下列方程哪些是一元二次方程：(1)3x 2+4x-2=0； (2)x 2-2x+3=6x-1； (3)7-x 3=x+x 2； (4)x 2-2xy-4=0；（5）3x 2=5-x1；(6)2-x 2+y 2=x+m ；(7)6x 2+3x=-3x(3-2x)；(8)3(x+1)+3=3x(2x+5)。

引导学生根据一元二次方程的定义判定.解：∵（3）（7）通过整理后为一元一次方程，（4）（6）是二元二次方程，（5）是分式方程式方程，而（1）（2）（8）整理后复合一元二次方程的定义，∴（1）（2）（8）是一元二次方程.设计意图：概念教学不能死板硬套，要让学生在探究中发现，在探究中生成，在探究中归纳与总结，最后在处理问题中得到升华。

设计这个判断题就是让学生学会归纳规律，运用一元一次方程的实质来进行判断的。

师：我们知道一元一次方程的一般形式是ax+b=0（a ≠0）,那么一元二次方程的一般形式是什么呢？（师引导生回答出一元二次方程的一般形式并板书.）（二）一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a≠0)。

其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

师：在一元二次方程的一般形式中，为什么要将a 限定为a≠0？师：假如给你一个一元二次方程，该怎样确定它的系数及常数项呢？（多媒体展示例2.并板书例2的解答过程）例2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

（师引导学生完成解答过程）解：去括号，得3x 2-3x=5x+10.移项,合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x 2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．设计意图：教师安排这个例题，并且规范其解题步骤，目的就是为后面的学习运用公式法解方程服务。

师：我们知道方程的解是使方程两边相等的未知数的值，那么一元二次方程的解是什么呢？生：生相互交流并思考中，师板书一元二次方程根的定义.（三）一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

（可以类比一元一次方程的解的定义来理解和掌握.）师：我们如何验证一个数是否为一元二次方程的根呢?(多媒体展示例3，并引导生完成例3的解答)例3．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．师：通过上面的学习，你掌握多少呢？就让我们一试身手吧！三、课堂检测—分层训练（一）巩固练习（PPT展示练习题—教材P4练习1、2题）1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）5x2-1=4x; (2)4x2=81; (3)4x(x+2)=25; (4)(3x-2)(x+1)=8x-3.2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

设计意图：经过教材习题训练，一方面紧扣教材加强了对一些基本概念的理解和巩固，另一方面，也是为了化解本章用方程解应用题的难点问题。

也为后面学习解法做一个铺垫。

（二）拓展应用（PPT展示）1.方程（2a-4）x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元二次方程？2.已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+ m2-4=0，有一个解是0，求m的值.师：亲爱的同学们，通过上面的学习，你能归纳一下本节课所学的知识吗？生：思考中，师：多媒体以填空题的形式展示本节课的重要知识点,并引导生完成填空.四、科学归纳—巩固新知1．等号两边都是，只含有未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．2．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ，这种形式叫做一元二次方程的 ．其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项．3.能使一元二次方程 的值是一元二次方程的解。

又因只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为 。

设计意图：由于本节内容是本章的第一节课，所以，引导学生学会抽出知识点是一个学习方法和技能问题，故小结设计为填空题的形式。

另外，它不仅是对本节重点内容的一个回顾，也是提醒学生对本节知识点掌握程度的一个提示。

五、课后作业—能力提升✿教材作业（必做）教材P4习题21.1✿补充作业（选作）一．选择题1.下列方程中，一元二次方程的个数为( )．(1)2x 2－3=0(2)x 2＋y 2=5 (3)542=-x (4)2122=+x x A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．如果22(1)310a x ax a -++-=是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ≠0B ．a ≠1C ． 1a ≠±D ．任何实数3．已知关于x 的一元二次方程22(3)60(0)mx m x m m +-+-=≠，不论m 取何值，该方程都有一个根，这个根是（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2二、填空题4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______．5．若x x m m ++-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．6.已知a 是方程x 2＋x-1=0的根，求1___a a -=。

三、解答题7．已知关于x 的方程22(1)(1)20k x k x -++-=.⑴当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；⑵当k 取数项.何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.课外作业—补充作业 参考答案1.A;2.B;3.B4.x 2-12x=0,1,-12,0;5.-2;6.-1.7.(1)要使方程为一元一次方程，则需⎩⎨⎧≠+=-01012k k 解得 k=1. 当k=1时，原方程变为2x-2=0,解得 x=1.(2)要使此方程为一元二次方程，则需 k 2-1≠0.即k ≠±1.方程22(1)(1)20k x k x -++-=的二次项系数、一次项系数和常数项分别为k 2-1、k+1和-2. 【板书展示】。