2012~2013学年第一学期高二期末考试数学试题
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中．)
1．若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．4
2．(理)已知向量a =(3，5，-1)，b =(2，2，3)，c =(4，-1，-3)，则向量2a -3b +4c 的坐标为( )
A ．(16，0，-23)
B ．(28，0，-23)
C ．(16，-4，-1)
D ．(0，0，9)
(文)曲线y =4x -x 2上两点A (4，0)，B (2，4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为( )
A ．(1，3)
B ．(3，3)
C ．(6，-12)
D ．(2，4)
3．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
4．已知双曲线22
2112
x y a -=的离心率2，则该双曲线的实轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．
D ．
5．在极坐标系下，已知圆C 的方程为ρ=2cos θ，则下列各点中，在圆C 上的是( )
A ．(1，-3π)
B ．(1，6π)
C ．
，34π) D ．
54
π) 6．将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是( )
A ．312x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
B ．312x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩
C ．32x x y y '=⎧⎨'=⎩
D ．32x x y y
'=⎧⎨'=⎩ 7．在方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( ) A ．(2，-7) B ．(1，0) C ．(12，12) D ．(13，23
) 8．极坐标方程ρ=2sin θ和参数方程231x t y t =+⎧⎨
=--⎩(t 为参数)所表示的图形分别为( ) A ．圆，圆 B ．圆，直线
C ．直线，直线
D ．直线，圆 9．(理)若向量a =(1，λ，2)，b =(2，-1，2)，a 、b 夹角的余弦值为
89，则λ=( ) A ．2 B ．-2
C ．-2或255
D ．2或-255 (文)曲线y =e x +x 在点(0，1)处的切线方程为( )
A ．y =2x +1
B ．y =2x -1
C ．y =x +1
D ．y =-x +1
10．(理)已知点P 1的球坐标是P 1(4，2π，
53π)，P 2的柱坐标是P 2(2，6π，1)，则|P 1P 2|=( )
A B C D ．(文)已知点P 在曲线f (x )=x 4-x 上，曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0，则点P 的坐标为( )
A ．(0，0)
B ．(1，1)
C ．(0，1)
D ．(1，0)
11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为( )
A ．(
32，+∞) B ．(1，32) C ．(2，+∞) D ．(1，2) 12．从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )
A ．5
B ．10
C ．20
D 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在试卷的答题卡中．)
13．(理)已知空间四边形ABCD 中，G 是CD 的中点，则1()2
AG AB AC -+= ．
(文)抛物线y =x 2+bx +c 在点(1，2)处的切线与其平行直线bx +y +c =0间的距离是 ．
14．在极坐标系中，设P 是直线l ：ρ(cos θ+sin θ)=4上任一点，Q 是圆C ：ρ2=4ρcos θ-3上任一点，则|PQ |的最小值是________．
15．(理)与A (-1，2，3)，B (0，0，5)两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件为__________．
(文)函数f (x )=ax 3-x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．
16．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB =4，BC =3，则此双曲线的标准方程为_____________________．
三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本题满分12分)
双曲线与椭圆22
12736
x y +=有相同焦点，且经过点4)，求其方程．
18．(本题满分12分)
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：
4
1
5
3
1
5
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
(t为参数)，若以O为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ
θ+
4
π
)，求直线l被曲
线C所截的弦长．
19．(本题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
20．(本题满分12分)
(文)已知函数f(x)=x2(x-a)．
(1)若f(x)在(2，3)上单调，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在(2，3)上不单调，求实数a的取值范围．
(理)(本题满分12分)
如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，P A⊥面ABCD，
P A
AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：
FD=1：2．建立适当坐标系．
(1)求EF的长；
(2)证明：EF⊥PC．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
( )内为文科答案
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)
13．(理)1
2
BD(文
14
1
15．(理)2x-4y+4z=11 (文)a≤0 16．x2-
2
3
y
=1
三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本题满分12分)
解：椭圆
22
1
3627
y x
+=的焦点为(0，±3)，c=3，………………………3分
设双曲线方程为
22
22
1
9
y x
a a
-=
-
，…………………………………6分
∵过点
4)，则
22
1615
1
9
a a
-=
-
，……………………………9分
得a2=4或36，而a2<9，∴a2=4，………………………………11分
双曲线方程为
22
1
45
y x
-=．………………………………………12分
18．(本题满分12分)
解：将方程
4
1
5
3
1
5
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
(t为参数)化为普通方程得，3x+4y+1=0，………3分
将方程ρ
θ+
4
π
)化为普通方程得，x2+y2-x+y=0，……………6分
它表示圆心为(1
2
，-
1
2
)
，半径为
2
的圆，…………………………9分
则圆心到直线的距离d=
1
10
，…………………………………………10分
弦长为
7
5
==．…………………………………12分
20．(文)(本题满分12分)
解：由f(x)=x3-ax2得f′(x)=3x2-2ax=3x(x-2
3
a
)．…………3分
(1)若f(x)在(2，3)上单调，则2
3
a
≤0，或0<
2
3
a
≤2，解得：a≤3．…………6分
∴实数a的取值范围是(-∞，3]．…………8分
(2)若f(x)在(4，6)上不单调，则有4<2
3
a
<6，解得：6<a<9．…………11分
∴实数a的取值范围是(6，9)．…………12分
20．(理)(本题满分12分)
解：(1)以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立直角坐标系，…………2分
由条件知：AF=2，…………3分
∴F(0，2，0)，P(0，0，，C(8，6，0)．…4分
从而E(4，3，∴EF．…………6分
(2)证明：EF=(-4，-1，，PC=(8，6，，…………8分
∵EF PC
⋅=-4×8+(-1)×，…………10分
∴EF⊥PC．…………12分。