概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第三章 多维随机变量及其分布教学要求：一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数；二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念；五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）.重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变量的独立性.难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布.练习一 二维随机变量及其分布1．填空题(1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--.(2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F =⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即}),{(G Y X P ∈⎰⎰=Gdxdy y x f ),(（3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为)1)(1(),(22y x Ay x f ++=)0,0(>>y x ，则系数A =,42π=<}1{X P 21. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan,⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y C x B A y x F则常数 A =21π， B =2π， C =2π. 2.将2个球随机地放入3个盒子，设X 表示第一个盒子内放入的球数，Y 表示有球的 盒子个数.求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布.解：按古典概型，2个球随机地放入3个盒子中共有91313=C C 种取法，X 的所有可能取值为0，1，2，Y 的所有可能取值为1，2，则： 922194}0|1{}0{}1,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 922194}0|2{}0{}2,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ，0094}1|1{}1{}1,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，94194}1|2{}1{}2,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，91191}2|1{}2{}1,2{=⋅=======X Y P X P Y X P ，0091}2|2{}2{}2,2{=⋅=======X Y P X P Y X P ．分布律为：3.设盒内产品有2件次品，3件正品，每次从中任取一件产品，不放回地取两次。

用X 表示第一次取得次品的件数，用Y 表示第二次取得次品的件数，求X 和Y 的联合分布律.解:()Y X ,的所有可能取值为 ()0,0 ；()1,0 ；()0,1 ；()1,1 .由乘法公式可得：1034253}0|0{}0{}0,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 1034253}0|1{}0{}1,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ，1034352}1|0{}1{}0,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，1014152}1|1{}1{}1,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ．所以()Y X ,的分布律为：4. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为()()⎩⎨⎧>>=+-其它；,0,0,0,,23y x Ae y x f y x（1）求系数A ；（2）求}20,10{≤<≤<Y X P ；（３）求分布函数),(y x F ．解：（1）由,1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 得162131020032030)23(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅=+∞-+∞∞+--∞+-∞+∞++-⎰⎰⎰⎰A e e A dy e dx e A dxdy Ae y x y x y x所以 6=A ．（2）()dx e e dy e dx Y X P y x y x 2021312023][36}20,10{--+-⎰⎰⎰-==≤<≤< ()[])1)(1(1)1(3341034134--------=--=-=⎰e e e e dx ee xx（3）()⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-+-∞-∞-其它；x y y y x x xydy dx y x dy e dx dy y x f dx y x F ,0,0,0,6),(),(0230()()⎩⎨⎧>>--=--.,0,0,0,1123其它y x e e y x5．设二维随机变量),(Y X 的概率密度(6),02, 24,(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它．(1)求常数k ；(2) 求}3,1{<<Y X P ；(3) 求}4{≤Y X P ＋.解：（1）由,1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 得⎰⎰--422)6(dx y x k dy ()dy x x y k 2042226⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--=42)2212(dy y k[]1810422==-=k y y k .所以8/1=k（2）⎰⎰--=<<1032)6(81}3,1{dx y x dy Y X P ()dy x x y 103222681⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=83)211(8132=-=⎰dy y （3） ⎰⎰=∈=≤Gdxdy y x f G Y X P X P ),(}),{(}4Y {＋()()dy x x y dx y x dyyy--⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=4042242402681681 ()()()().3246148142142814232422=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰y y dy y y练习二 二维随机变量的边缘分布1．填空（1）设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为则与的边缘分布律分别为且=≥}1{YP 45.0．（2）设二维随机变量),(Y X 的分布律为，则a =41，b =61,==}0{XY P 32,==}{Y X P 127 . （3）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它；,0,,10,),(2x y x x C y x f则常数C ＝6；边缘概率密度=)(x f X 其它．,10,0),(62<<⎩⎨⎧-x x x =)(y f Y 其它．,1y 0,0),y y (6<<⎩⎨⎧-（4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数为其它．,0,0,0),1()1(),(2>>⎩⎨⎧-⋅-=--y x e e y x F y x则边缘分布函数=）（x F X ();0,12>--x e x，=）（y F Y ();0,1>--y e y ；边缘概率密度=)(x f X ⎩⎨⎧>-其它；，0,0,22x e x =)(y f Y ⎩⎨⎧>-.,0,0,其它y e y 2．盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球．以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数．求X ,Y 的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律.解：按古典概型计算，从7只球中取4只，共有3547=C 种取法，在取的4只球中，黑球有i 只，红球有j 只（剩下j i --4只为白球）的取法为4,2,1,0,3,2,1,0,4223≤+==⋅⋅--j i j i C C C j i j i ，于是0}2,3{}0,1{}1,0{}0,0{============Y X P Y X P Y X P Y X P35135}2,0{222203====C C C Y X P , 35635}1,1{221213====C C C Y X P ,35635}2,1{122213====C C C Y X P , 35335}0,2{220223====C C C Y X P ,351235}1,2{121223====C C C Y X P , 35335}2,2{022223====C C C Y X P ,35235}0,3{120233====C C C Y X P , 35235}1,3{021233====C C C Y X P ．分布律为：3. 将一枚硬币掷三次，以X 表示前两次中出现正面的次数，以Y 表示３次中出现正面的次数，求X ,Y 的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律.解：由于X 服从二项分布B(2,1/2), Y 所有可能取的值为0，1，2，3．当)2,1,0(==i i X 时，Y 取1,+i i 的概率都为1/2，而取1,+i i 以外的值是不可能的，故：0}0,1{}3,0{}2,0{=========Y X P Y X P Y X P ， 0}1,2{}0,2{======Y X P Y X P ，812141}0|0{}0{}0,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 812141}0|1{}0{}1,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ，412121}1|1{}1{}1,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，412121}1|2{}1{}2,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，812141}2|2{}2{}2,2{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 812141}2|3{}2{}3,2{=⋅=======X Y P X P Y X P所得分布律为：二维随机变量(,)X Y 的概率密度4．设⎩⎨⎧<<=-它．其，,00,),(y x e y x f y为求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ． 解：⎰⎰∞+∞--+∞-⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==.,0,0,,00,),()(其它其它，x e x dy e dy y x f x f x x y X⎰⎰∞+∞---⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==.,0,0,,0,0,),()(0其它其它，y ye y dx e dx y x f y f y y y Y 5．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<<=它．其,0,10,6),(y x x y x f ，（1）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； (2）求(1)P X Y +≤． 解：(1) 其它．其它，,10,0),1(6,0,10,6),()(1<<⎩⎨⎧-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-x x x x xdy dy y x f x f x X⎰⎰∞+∞-⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==.,0,10,3,0,10,6),()(20其它其它，y y y xdx dx y x f y f y Y(2) ⎰⎰⎰⎰-==≤+2/1016),(}1{xxGxdy dx dxdy y x f Y X P()[].41341262102310=+-=+-=⎰x x dx x x练习三 二维随机变量的条件分布(选做)1．填空（1）设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为则===}0|1{Y X P .11655.030}0{}0,1{=====．Y P Y X P（2）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为其它．,1,0,),(22<<⎩⎨⎧=y x y cx y x f则时，当10≤<y =)|(|y x f Y X 其它．,,0,23)(),(2/32y x y y x y f y x f Y <<-⎪⎩⎪⎨⎧=-==≥}21|41{X Y P 1. 2. 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为：求}0|1{==Y X P ，}2|1{==Y X P ，}1|1{==X Y P .解： 2/12/14/1}0{}0,1{}0|1{========Y P Y X P Y X P ;5/224/512/1}2{}2,1{}2|1{========Y P Y X P Y X P ;11/324/118/1}1{}1,1{}1|1{========X P Y X P X Y P3. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<<=.,0,10,,1,其它x x y y x f求条件概率密度)|(|x y f X Y ，)|(|y x f Y X ．解：由于 ⎰⎰∞+∞--⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<<=<<⋅==.,0,10,2,0,10,1),()(其它其它，x x x dx dy y x f x f xx X⎰⎰⎰∞+∞--⎩⎨⎧<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-⋅<<⋅==.,0,1,1,0,01,1,10,1),()(11其它其它，y y y dx y dx dx y x f y f yyY所以当10<<x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<==.,0,,21)(),()|(|其它x y x x f y x f x y f X X Y当1<y 时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-==.,0,1,11)(),()|(|其它x y yy f y x f y x f Y Y X练习四 随机变量的相互独立性1．填空（1）设随机变量X 与Y 相互独立且服从同一分布：3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则==}{Y X P 95. （2）设随机变量X 与Y 的联合分布律为 则=+b a 31.若X 与Y 相互独立，则=a 92，=b 91. （3）设两个随机变量X 与Y 相互独立，X 服从均匀分布)51,0(U ，Y 服从指数分布)5(E ，则),(Y X 的概率密度=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧><<-.,0,0,50,5其它y x e x2. 某班车在起点站的上车人数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为)10(<<p p ，且乘客中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率. （2）二维随机变量),(Y X 的概率分布.解：(1) 由题设知，此条件概率服从二项分布，因此有Λ,2,1,0,0,)1(}|{=≤≤-===-n n m p p C n X m Y P m n m mn(2) 利用乘法公式，得}|{}{},{n X m Y P n X P m Y n X P ==⋅====nmn mm nn e p p C λλ!)1(---=，Λ,2,1,0,0=≤≤n n m 3.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为其它．，10,0,15),(2<<<⎩⎨⎧=y x y x y x f（1）求边缘概率密度)(x f X 和)(y f Y ；（2）判断X 与Y 是否相互独立.解：（1）()⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<<-=<<==.,0,10,1215,0,10,15),()(222其它其它，x x x x y x dy y x f x f X⎰⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<<=<<==.,0,10,5,0,10,15),()(202其它其它，y y y ydx x dx y x f y f y Y（2）由于),()()(y x f y f x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为,()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-;0,0,0,212y y e y f yY （1）求X 和Y 的联合概率密度(,)f x y ；（2）设含有t 的二次方程为022=++Y Xt t ，试求t 有实根的概率.解：（1）因为X 的概率密度为其它．,10,0,1)(<<⎩⎨⎧=x x f X且X 与Y 相互独立，故),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=-.,0,0,10,21),(2其它y x e y x f y(2) t 的二次方程022=++Y Xt t 有实根的充要条件为判别式0442≥-=∆Y X ，亦即Y X ≥2.而{⎰⎰⎰⎰-==∈=≥122221),(}),{(}x yGdy e dx dxdy y x f G Y X P Y XP dx e dx e dx e x x x y ⎰⎰⎰----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021020102222111445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π练习五 两个随机变量的函数的分布1．填空（1X 的分布律为则随机变量),max(Y X Z =与Y X W +=的分布律分别为：（2）设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，若X 与Y 相互独立，则Y X Z +=的分布函数=)(z F Z ⎰⎰≤+zy x dxdy y x f ),(；概率密度=)(z f Z dy y f y z f Y X ⎰+∞∞--)()( 或=)(z f Z dx x z f x f Y X ⎰+∞∞--)()(（这两个公式也被称为卷积公式）.（3）设随机变量X 与Y 相互独立，且)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则~Y X +)21(，N ；=≤+}1{Y X P21． 2. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为其它．,100,,1)(≤≤⎩⎨⎧=x x f X 其它．－Ｙ,00,,e )(>⎩⎨⎧=y y f y求随机变量Y X Z +=的概率密度．解：利用公式dy y f y z f z f Y X Z ⎰+∞∞--=)()()(，按函数)(),(y f x f Y X 的定义知，仅当⎩⎨⎧≥≤-≤,0,10y y z 即0,1>≤≤-y z y z 时，上述积分才不等于零．所以()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅<<⋅=-----⎰⎰.,01,1,10,1,0,1,1,10,110其它，其它，z e e z e z dy e z dy e z f z z z z yzyZ3. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其它；,0,0,0,21),(y x e y x y x f y x（1）问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度.解：(1) ()()⎰⎰∞+∞-+∞+-⎪⎩⎪⎨⎧>+==.,0,0,21),()(0其它x dy e y x dy y x f x f y x X其中()()()()()()()().0,2121212121210000>+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-∞++--+∞+-+∞+-+-+∞⎰⎰x e x e xe y x d e e y x dy e y x xy x x y x y x y x故 ⎪⎩⎪⎨⎧>+=-.,0,0,21)(其它x e x x f xX同理可求得 ()⎪⎩⎪⎨⎧>+=-.,0,0,21其它y e y y f yY显然),()()(y x f y f x f Y X ≠，所以X 和Y 不相互独立． (2) 由公式⎰+∞∞--=dy y y z f z f Z ),()(可知仅当⎩⎨⎧>>-,0,0y y z 即⎩⎨⎧><,0,y z y 时才不会等于零，所以()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-=⎪⎩⎪⎨⎧>-=⎰⎰+--.,0,0,21.,0,0,,00其它其它z dy e y y z z dy y y z f z f z y y z z Z ⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0,0,212其它z e z z4. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都在区间],[b a 上服从均匀分布，求 （1）),m ax (1Y X Z =的概率密度; （2）),m in(2Y X Z =的概率密度. 解：（1）由于X 与Y 相互独立且具有相同的分布，所以},{}),{max (}{)(11z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤= 2)]([)()(}{}{z F z F z F z Y P z X P X Y X ==≤⋅≤=，而 ()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=;,1,,,,0b z b z a a b az a z z F X则 ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--===其它；0,,2)()(2)]'([)(211b z a a b a z z f z F z F z f X X Z Z(2) 由于X 与Y 相互独立且具有相同的分布，所以}),{min(1}),{min(}{)(22z Y X P z Y X P z Z P z F Z >-=≤=≤=}{}{1},{1z Y P z X P z Y z X P >>-=>>-= }){1})({1(1z Y P z X P ≤-≤--= )](1)][(1[1z F z F Y X ---= 2)](1[1z F X --=则 ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=-⋅--==.,0,,2)]([)](1[2)]'([)(222其它b z a a b z b z f z F z F z f X X Z Z综合练习题一、填空题1. 已知随机变量X 与Y 的边缘分布律在下表中已给出，且1}0{==XY P ，请推断X 与Y 的联合分布律：2.设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a =0.4,b =0.1.3. 设二维随机变量),(Y X 服从G 上的均匀分布，区域G 由曲线2x y =与x y =所围，则),(Y X 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它，,0,,,61),(G y x y x f ，=<}21{XP 721.4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的两个分量X 与Y 相互独立，且服从同一分布，则=<}{Y X P 21.5. 设X 和Y 是两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 则=≥}0),{max(Y X P }0),{max(1<-Y X P }0Y 0{}0,0{1≥≥=<<-=或X P Y X P }0,0{}0{}0{≥≥-≥+≥=Y X P Y P X P 7/37/47/4-+=75=. 二、计算题1. 8件产品中有5件一等品，2件二等品，1件三等品，从中任取4件，若X 为4件产品中的一等品件数，Y 为4件产品中的二等品件数. （1）求二维随机变量),(Y X 的联合分布律与边缘分布律；（2）判断X 与Y 是否相互独立；（3）求}0|1{==Y X P .解： （1）（2）不相互独立． （3）0}0|1{===Y X P ．3．设随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它．1,00,,),(y x Axy y x f ，（1）求常数A ；（2）求)1(≥+Y X P ；解： （1） 由(),8121),(1210110Adx x x A dy xy dx A dxdy y x f x=-===⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-得.8=A （2）(){}⎰⎰-==∈=≥+1211658,}1{yyxydx dy G Y X P Y X P ． 3．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它；,0,20,10,1),(x y x y x f（1）求(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ,并判断X 与Y 是否相互独立；（2）求Y X Z -=2的概率密度)(z f Z .解：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<<=<<==⎰⎰∞+∞-.,0,10,2,0,10,),()(20其它其它，x x x dy dy y x f x f x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅==⎰⎰∞+∞-.,0,20,21,0,20,1),()(12其它其它，y yy dx dx y x f y f y Y(2) 由于),()()(y x f y f x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立. （3）由于dxdy y x f D Y X P z Y X P z Z P z F zD z Z ⎰⎰=∈=≤-=≤=),(}),{(}2{}{)(所以当20<<z 时， 41)(22012z z dy dx z F zx ZZ -=-=⎰⎰-，21)(z z f Z -=； 当2≥z 或当0≤z 时， ,0)(=z F Z 0)(=z f Z ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,20,21)(其它z zz f Z 4．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧∞<<<<=+-其它．,1,000,,),()(y x be y x f y x ,（1）试确定常数b ；（2）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （3）判断X 与Y 是否相互独立；（4）求函数max{,}Z X Y =的概率密度．解： (1) 由,1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 可得 ()(),1110101=-=⋅=-+∞--+-+∞⎰⎰⎰⎰e b dy e dx e b dy be dx y x y x所以111--=eb ．于是 (2) ()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==--∞++--∞+∞-⎰⎰.,0,10,1.,0,10,11),()(101其它其它x e e x e e dy y x f x f x y x X()⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧>=>-==-+--∞+∞-⎰⎰.,0,0,,0,0,11),()(101其它其它，y e y dx e e dx y x f y f y y x Y(3) 由于),()()(y x f y f x f Y X =，所以X 与Y 相互独立， (4) },{}),{m ax (}{)(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=)()(}{}{z F z F z Y P z X P Y X =≤⋅≤=，而 ⎰⎰∞-----⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<==zz z x X X z z eez z z dx e e z dx x f z F .1,1,10,110,0,1,1,10,1,0,0)()(101⎩⎨⎧≤>-=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-∞--⎰⎰.0,0,0,1,0,0,0,)()(0z z e z z dy e dy y f z z F z zz y Y Y故()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---;1,1,10,11,0,012z e z e ez z F zz Z ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=----.1,,10,112,0,01z e z e e e z z f z z z Z ．。