2017年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷一、选择题1．2017的相反数是（）A．B．﹣C．﹣2017 D．20172．如图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．3．数字970000用科学记数法表示为（）A．97×105B．9.7×105C．9.7×104D．0.97×1044．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列说法中正确的是（）A．了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查B．“打开电视，正在播放《沈视早报》”是必然事件C．数据1，1，2，2，3的众数是3D．一组数据的波动越大，方差越小6．下列运算正确的是（）A．x3+x3=2x6B．x3+x3=x3C．（xy2）3=x3y6D．（x+y）（y﹣x）=x2﹣y27．将二次函数y=x2﹣2x的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，对于得到的新的二次函数，y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．18．某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个家庭，8月份比7月份节约用水情况统计：那么这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是（）A．0.5m3B．0.4m3C．0.35m3D．0.3m39．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y=（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y310．如图，已知四边形ABCD中，∠C=90°，点P是CD边上的动点，连接AP，E，F分别是AB，AP的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（）A．线段EF的长先减小后增大B．线段EF的长不变C．线段EF的长逐渐增大D．线段EF的长逐渐减小二．填空11．因式分解：m2﹣4mn+4n2= ．12．不等式组的解集为．13．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量呈正比，某弹簧不挂物体时长15cm，当所挂物体质量为3kg时，弹簧长16.8cm．写出弹簧长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数表达式．14．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=115°，则∠AOC的度数为度．15．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果提前2天完成全部任务．则采用技术后每天加工套运动服．16．在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF 的长度为．三．计算17．计算：（π﹣3.14）0+|cos30°﹣3|﹣（）﹣2+．18．小明和小亮用6张背面完全相同的纸牌进行摸牌游戏，游戏规则如下：将牌面分别标有数字1、3、6的三张纸牌给小明，将牌面分别标有数字2、4、5的三张纸牌给小亮，小明小亮分别将纸牌背面朝上，从各自的三张纸牌中随机抽出一张，并将抽出的两张卡片上的数字相加，如果和为偶数，则小明获胜；如果和为奇数，则小亮获胜．（1）小明抽到标有数字6的纸牌的概率为；（2）请用树状图或列表的方法求小亮获胜的概率．19．如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AE交于点F，AF=AC，AD=BC，AE=EC．（1）求证：FD=AB（2）若∠B=50°，∠F=110°，求∠BCD的度数．20．为了创建书香校园，切实引导学生多读书，读好书．某中学开展了“好书伴我成长”的读书节活动，为了了解本校学生每周课外阅读时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，将课外阅读时间分为A、B、C、D四组，并利用臭氧所得的数据绘制了如下统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）一共调查了名学生；（2）扇形统计图中A组的圆心角度数；（3）直接补全条形统计图（4）若该校有2400名学生，根据你所调查的结果，估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有多少人？21．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AC、BD，半径CO交BD于点E，过点C 作切线，交AB的延长线于点F，且∠CFA=∠DCA．（1）求证：OE⊥BD；（2）若BE=2，CE=1①求⊙O的半径；②△ACF的周长是．22．如图，大楼AD与塔CB之间的距离AC长为27m，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B的仰角为30°，分别求大楼AD的高与塔BC的高（结果精确到0.1m，参考数据：≈2.24，≈1.732，≈1.414）23．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．（1）若AC所在直线的函数表达式是y=2x+4．①求AC的长；②求点B的坐标；（2）若（1）中AC的长保持不变，点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动．在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC与BD交于点O，将△ABD绕点D顺时针方向旋转，得到△EFD，旋转角为α（0°＜α＜180°）点A的对应点为点E，点B的对应点为点F（1）求证：四边形形ABCD是菱形（2）若∠BAD=30°，DE边为与AB边相交于点M，当点F恰好落在AC上时，求证：MD=ME （3）若△ABD的周长是48，EF边与BC边交于点N，DF边与BC边交于点P，在旋转的过程中，当△FNP是直角三角形是，△FNP的面积是．25．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）点N是x轴下方抛物线上的一点，连接AN，若tan∠BAN=2，求点N的纵坐标；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接AD，在x轴上是否存在E，使∠AED=∠CAD？如果存在，请直接写出点E坐标，如果不存在，请说明理由；（4）连接AC、BC，△ABC的中线BM交y轴于点H，过点A作AG⊥BC，垂足为G，点F是线段BH上的一个动点（不与B、H重合），点F沿线段BH从点B向H移动，移动后的点记作点F′，连接F′C、F′A，△F′AC的F′C、F′A两边上的高交于点P，连接AP，CP，△F′AC 与△PAC的面积分别记为S1，S2，S1和S2的乘积记为m，在点F的移动过程中，探究m的值变化情况，若变化，请直接写出m的变化范围，若不变，直接写出这个m值．2017年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．2017的相反数是（）A．B．﹣C．﹣2017 D．2017【考点】14：相反数．【分析】依据相反数的定义解答即可．【解答】解：2017的相反数是﹣2017．故选：C．2．如图是由6个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（）A． B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】画出从左边看到的图形即可．【解答】解：这个几何体的左视图是：故选：A．3．数字970000用科学记数法表示为（）A．97×105B．9.7×105C．9.7×104D．0.97×104【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将970000用科学记数法可表示为：9.7×105．故选：B．4．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】D1：点的坐标．【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标﹣4＜0，∴点P（3，﹣4）在第四象限．故选D．5．下列说法中正确的是（）A．了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查B．“打开电视，正在播放《沈视早报》”是必然事件C．数据1，1，2，2，3的众数是3D．一组数据的波动越大，方差越小【考点】X1：随机事件；V2：全面调查与抽样调查；W5：众数；W7：方差．【分析】依据必然事件的定义以及方差、众数的定义即可判断．【解答】解：A、了解一批日光灯的使用寿命适宜采用抽样调查，正确，选项符合题意；B、打开电视，正在播放《沈视早报》”是随机事件，选项不符合题意；C、数据1，1，2，2，3的众数是1和2，选项不符合题意；D、一组数据的波动越大，方差越大，选项不符合题意．故选A．6．下列运算正确的是（）A．x3+x3=2x6B．x3+x3=x3C．（xy2）3=x3y6D．（x+y）（y﹣x）=x2﹣y2【考点】4F：平方差公式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=2x3，不符合题意；B、原式=2x3，不符合题意；C、原式=x3y6，符合题意；D、原式=y2﹣x2，不符合题意，故选C7．将二次函数y=x2﹣2x的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，对于得到的新的二次函数，y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值．【分析】先把抛物线化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求出平移后的函数表达式，然后再求二次函数最值．【解答】解：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，将二次函数y=（x﹣1）2﹣1的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的新的二次函数y=（x﹣3）2，因为y=（x﹣3）2≥0，所以y的最小值是0．故选：C．8．某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个家庭，8月份比7月份节约用水情况统计：那么这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是（）A．0.5m3B．0.4m3C．0.35m3D．0.3m3【考点】W2：加权平均数；VA：统计表．【分析】根据加权平均数的计算公式即可求出答案．【解答】解：这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是，故选B9．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y=（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=（a为常数）中，k=﹣a2﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵﹣5＜0，0＜1＜2，∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（2，y3）在第四象限，∴y2＜y3＜y1．故选C．10．如图，已知四边形ABCD中，∠C=90°，点P是CD边上的动点，连接AP，E，F分别是AB，AP的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（）A．线段EF的长先减小后增大B．线段EF的长不变C．线段EF的长逐渐增大D．线段EF的长逐渐减小【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】连接BD，BP，当点P在BC上从C向B移动时则BD＞BP，由题意可知EF是△ABP 的中位线，即EF=BP，为的值，点P在CD上从点D向点C移动过程中，EF的长也在减小．【解答】解：连接BD，BP，∵E，F分别是AB，AP的中点，∴EF是△ABP的中位线，∴EF=BP，∵点P在CD上从点D向点C移动过程中，BD＞BP，∴线段EF的长逐渐减小．故选D．二．填空11．因式分解：m2﹣4mn+4n2= （m﹣2n）2．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣4mn+4n2=（m﹣2n）2．故答案为：（m﹣2n）2．12．不等式组的解集为2＜x≤．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：由①得x＞2，由②得x≤，故不等式组的解集为2＜x≤．故答案为：2＜x≤．13．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量呈正比，某弹簧不挂物体时长15cm，当所挂物体质量为3kg时，弹簧长16.8cm．写出弹簧长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数表达式L=0.6x+15 ．【考点】FG：根据实际问题列一次函数关系式．【分析】根据题意可知，弹簧总长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系，可设y=kx+15．代入求解．【解答】解：设弹簧总长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间符合一次函数关系为L=kx+15．由题意得 16.8=3k+15，解得k=0.6，所以该一次函数解析式为L=0.6x+15．故答案为L=0.6x+15．14．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=115°，则∠AOC的度数为130 度．【考点】M6：圆内接四边形的性质．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D，再利用圆周角定理解答．【解答】解：∵∠ABC=115°∴∠D=180°﹣∠B=65°∴∠AOC=2∠D=130°．故答案为：130．15．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果提前2天完成全部任务．则采用技术后每天加工24 套运动服．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设原计划每天加工x套运动服，则采用了新技术每天加工（1+20%）x套运动服，根据结果提前2天完成全部任务，列方程求解即可【解答】解：设原计划每天加工x套运动服，则采用了新技术每天加工（1+20%）x套运动服，由题意得， +，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，所以采用技术后每天加工1.2×20=24套，答：则采用技术后每天加工24套运动服，故答案为：24．16．在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为6+2或6﹣2．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】分两种情况：如图1，F是线段CD上一动点，如图2，F是DC延长线上一点，利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．【解答】解：如图1，F是线段CD上一动点，由翻折可知，∠FEA=∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE=∠AEF，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF，在Rt△BCE中，EC===2，∴CF=CE=2，∵AB=CD=6，∴DF=CD﹣CF=6﹣2，如图2，F是DC延长线上一点，由翻折可知，∠FEA=∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE=∠AEF，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF，在Rt△BCE中，EC===2，∴CF=CE=2，∵AB=CD=6，∴DF=CD+CF=6+2，故答案为6+2或6﹣2．三．计算17．计算：（π﹣3.14）0+|cos30°﹣3|﹣（）﹣2+．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（π﹣3.14）0+|cos30°﹣3|﹣（）﹣2+=1+3﹣﹣9+3=﹣518．小明和小亮用6张背面完全相同的纸牌进行摸牌游戏，游戏规则如下：将牌面分别标有数字1、3、6的三张纸牌给小明，将牌面分别标有数字2、4、5的三张纸牌给小亮，小明小亮分别将纸牌背面朝上，从各自的三张纸牌中随机抽出一张，并将抽出的两张卡片上的数字相加，如果和为偶数，则小明获胜；如果和为奇数，则小亮获胜．（1）小明抽到标有数字6的纸牌的概率为；（2）请用树状图或列表的方法求小亮获胜的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵牌面分别标有数字1、3、6的3张纸牌，∴小明抽到标有数字6的纸牌的概率=，故答案为：；（2）列表如下：∵共有9种等可能的结果，和为奇数有5种情况，∴P （小亮获胜）=．19．如图，点A ，C ，D 在同一条直线上，BC 与AE 交于点F ，AF=AC ，AD=BC ，AE=EC ．（1）求证：FD=AB（2）若∠B=50°，∠F=110°，求∠BCD 的度数．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据SAS 即可证明；（2）利用全等三角形的性质，求出∠BAC ，根据∠BCD=∠B+∠BAC 即可解决问题；【解答】（1）证明：∵EA=EC ，∴∠EAC=∠ECA ，在△AFD 和△CAB 中，∴△AFD≌△CAB，∴FD=AB．（2）解：∵△AFD≌△CAB，'∴∠BAC=∠F=110°，∴∠BCD=∠B+∠BAC=50°+110°=160°．20．为了创建书香校园，切实引导学生多读书，读好书．某中学开展了“好书伴我成长”的读书节活动，为了了解本校学生每周课外阅读时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，将课外阅读时间分为A、B、C、D四组，并利用臭氧所得的数据绘制了如下统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）一共调查了80 名学生；（2）扇形统计图中A组的圆心角度数162°；（3）直接补全条形统计图（4）若该校有2400名学生，根据你所调查的结果，估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有多少人？【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．【分析】（1）用A组人数除以其所占百分比可得答案；（2）用360°乘以A所占百分比即可；（3）先求得B、C的人数即可补全图形；（4）用总人数乘以A、B组的百分比之和可得．【解答】解：（1）本次调查的学生总数为36÷45%=80（人），故答案为：80；（2）扇形统计图中A组的圆心角度数为360°×45%=162°，故答案为：162°；（3）B组人数为80×30%=24（人），C组人数为80×10%=8（人），补全图形如下：（4）2400×（45%+30%）=1800（人），答：估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有1800人．21．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AC、BD，半径CO交BD于点E，过点C作切线，交AB的延长线于点F，且∠CFA=∠DCA．（1）求证：OE⊥BD；（2）若BE=2，CE=1①求⊙O的半径；②△ACF的周长是10+2．【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥CF，推出DB∥CF，根据平行线的性质即可得到结论；（2）①设⊙O的半径为r，根据勾股定理求得结论；②连接BC，根据勾股定理得到BC=，根据圆周角大家得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC==2，由弦切角定理得到∠A=∠BCF，根据相似三角形的性质得到CF=2BF，BF=，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF=90°，∵∠DCA=∠DBA，∴∠DBA=∠CFA，∴DB∥CF，∴∠OEB=∠OCF=90°，∴OE⊥DB；（2）解：①设⊙O的半径为r，∵CE=1，OE=r﹣1，∵BE=2，在Rt△BOE中，OB2=OE2+BE2，∴r2=（r﹣1）2+22，∴r=，∴⊙O的半径为；②连接BC，∵CE=1，BE=2，∴BC=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==2，∵CF是⊙O的切线，∴∠A=∠BCF，∵∠F=∠F，∴△ACF∽△CBF，∴=2，∴CF=2BF，∵，∴CF2=AF•BF，∴4BF2=（5+BF）•BF，∴BF=，∴CF=，AF=，∴△ACF的周长=AC+CF+AF=2++=10+2．故答案为：10+2．22．如图，大楼AD与塔CB之间的距离AC长为27m，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B的仰角为30°，分别求大楼AD的高与塔BC的高（结果精确到0.1m，参考数据：≈2.24，≈1.732，≈1.414）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】先解Rt△DBE，求出BE=9，再将Rt△ABC，求出BC=27≈46.8，那么AD=CE=27﹣9=18≈31.2．【解答】解：由题意，可知∠BDE=30°，∠BAC=60°，四边形ACED是矩形，∴DE=AC=27．在Rt△DBE中，tan∠BDE=，∴=，∴BE=9．在Rt△ABC中，tan∠BAC=，∴=，∴BC=27≈46.8，AD=CE=27﹣9=18≈31.2．答：大楼AD的高约31.2m，塔BC的高约46.8m．23．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．（1）若AC所在直线的函数表达式是y=2x+4．①求AC的长；②求点B的坐标；（2）若（1）中AC的长保持不变，点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动．在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是5+．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）①根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得答案；②根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；（2）首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．【解答】解：（1）①当x=0时，y=2x+4=4，∴A（0，4）；当y=2x+4=0时，x=﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA=4，OC=2，∴AC==2．②过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠C AO=90°，∠ACB=90°，∴∠CAO=∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD=AO=4，DB=OC=2，OD=OC+CD=6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．（2）如图2所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC=90°，AC=2，∴OE=CE=AC=，∵BC⊥AC，BC=2，∴BE==5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC与BD交于点O，将△ABD绕点D顺时针方向旋转，得到△EFD，旋转角为α（0°＜α＜180°）点A的对应点为点E，点B的对应点为点F（1）求证：四边形形ABCD是菱形（2）若∠BAD=30°，DE边为与AB边相交于点M，当点F恰好落在AC上时，求证：MD=ME （3）若△ABD的周长是48，EF边与BC边交于点N，DF边与BC边交于点P，在旋转的过程中，当△FNP是直角三角形是，△FNP的面积是．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图1中，连接AE．只要证明△ADE是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明；（3）如图2中，作EH⊥DF．当DF⊥BC时，△PNF是直角三角形，想办法求出PN、PF即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四边形ABCD是菱形．（2）证明：如图1中，连接AE．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，BO=OD，AC⊥BD，∴∠FOD=90°，∵△ABD旋转得到△EFD，∴∠BDF=∠ADE，AD=DE，BD=DF，∵点F恰好在AC上，∴DF=2OD，在Rt△FOD中，cos∠ODF==，∴∠ADE=∠BDF=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∵∠MAD=30°，∴∠EAM=∠EAD﹣∠MAD=30°，∴∠EAM=∠MAD，∴DM=EM．（3）解：如图2中，作EH⊥DF．∵AB=AD=15，△ABD的周长为48，∴BD=48﹣15﹣15=18，当DF⊥BC时，△PNF是直角三角形，在Rt△COB中，OC==12，∵•BD•OC=•BC•DP，∴DP=，∵DF=BD=18，∴PF=18﹣=，∵PN∥EH，∴=，∴=，∴PN=，∴S△PNF=××=．故答案为．25．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）点N是x轴下方抛物线上的一点，连接AN，若tan∠BAN=2，求点N的纵坐标；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接AD，在x轴上是否存在E，使∠AED=∠CAD？如果存在，请直接写出点E坐标，如果不存在，请说明理由；（4）连接AC、BC，△ABC的中线BM交y轴于点H，过点A作AG⊥BC，垂足为G，点F是线段BH上的一个动点（不与B、H重合），点F沿线段BH从点B向H移动，移动后的点记作点F′，连接F′C、F′A，△F′AC的F′C、F′A两边上的高交于点P，连接AP，CP，△F′AC 与△PAC的面积分别记为S1，S2，S1和S2的乘积记为m，在点F的移动过程中，探究m的值变化情况，若变化，请直接写出m的变化范围，若不变，直接写出这个m值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，然后求得a、b的值即可；（2）过点N作NM⊥x轴点M，则∠AMN=90°．设点N的坐标为（x， x2﹣x﹣3），则AM=x+1，MN=﹣x2+x+3，然后依据tan∠BAN=2，列方程求解即可；（3）连接CD，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点D作DF⊥x轴，垂足为F．先求得AC，AD的长，依据S△ACD=CD•OC=AD•CG，可求得CG的长，然后依据勾股定理可求得AG的长，从而可得到tan∠AED===，从而可求得EF和E′F的长，然后求得点E和点E′的坐标即可；（4）先证明AB=BC，由等腰三角形的性质可知MB为AC的垂直平分线，然后再证明△CMP∽△F′MC，依据相似三角形的性质可求得MP•MF′=，最后由m=S1•S2=AC•PM•AC•MF′求解即可．【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．（2）如图1所示：过点N作NM⊥x轴点M，则∠AMN=90°．设点N的坐标为（x， x2﹣x﹣3），则AM=x+1，MN=﹣x2+x+3．∵tan∠BAN=2，∴=2，解得：x=或x=﹣1（舍去）．∴MN=2AM=3×（+1）=，∴点N的坐标为（，﹣）．（3）如图2所示：连接CD，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点D作DF⊥x轴，垂足为F．∵点C与点D关于对称轴直线x=对称，∴D（3，﹣3）．∴DF=3，CD=3．依据两点间的距离公式可知AD=5，AC=．∵S△ACD=CD•OC=AD•CG，∴CG=．∴AG==．∴tan∠CAD=．∵∠AED=∠CAD，∴tan∠AED===，即==，解得EF=EF′=．∴E（﹣，0），E′（，0）．∴点E的坐标为（﹣，0）或（，0）．（4）如图3所示：∵A（﹣1，0），（4，0），C（0，﹣3），∴AB=BC=5，AC=．∵MB为△ABC的中线，∴MB⊥AC，MC=．∴MB为AC的垂直平分线，∴∠AF′M=∠CF′M．∵点P为AF′与CF′的高线的交点，∴∠CAQ+∠ACQ=90°，∠CAQ+∠MF′A=90°，∴∠ACQ=∠AF′M．∴∠ACQ=∠CF′M．又∵∠CMP=∠CMF′，∴△CMP∽△F′MC．∴=，即MP•MF′=．∴m=S1•S2=AC•PM•AC•MF′=×（）2×=．。