二 面 角 的 几 种 求 法
河北省武安市第一中学 李春杰056300
摘要：在立体几何学习中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。

在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点不太熟练，不知从何入手，更不能站在一个高度去求二面角。

因而我们将一些求角的方法加以归纳、总结，从而更好更准确地解决问题。

关键词：二面角 平面角 三垂线定理 空间向量
在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理，方法和基本图形比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。

我们将有关二面角大小的方法加以归纳，为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧、方法，以便得心应手地面对各种有关的题型。

一：二面角定义的回顾：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。

二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。

而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,
1.利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。

例1、 如图,空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=a ，对角线AC=a ,BD=.求二面角 A-BD-C 的大小。

解: 取BD 的中点为O ，分别连接AO 、CO
2
2
2
0,,,,2,,,9090AB AD BC CD AO BD CO BD
AOC A BD C AB AD a BD AO BC CD a BD OC OA AC a OA OC AC AOC A BD C ==∴⊥⊥∴∠--===∴=
===∴===+=∴∠=--为二面角的平面角在AOC 中，即二面角为的二面角
2.三垂线定理（逆定理）法
由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。

例2．如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中//AD BC ，,90︒=∠ABC 平面⊥PA ABC ，
32,2,4===AB AD PA ,BC =6。

(Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面；(Ⅱ)求二面角D BD P --的
大小；
解：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ．BD PA ∴⊥．
又tan AD ABD AB =
=
tan BC
BAC AB
== 30ABD ∴=∠，60BAC =∠，90AEB ∴=∠，即BD AC ⊥．
又PA AC A =．BD ∴⊥平面PAC ．
（Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F ，连接DF ．
DE ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥， EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角． 又9030DAC BAC =-=∠∠，
sin 1DE AD DAC ∴==，
sin AE AB ABE ==
又AC =
EC ∴=，8PC =．
A
E
D
P
C
B
F
由Rt Rt EFC PAC △∽△得33
2
PA EC EF PC =
=．
在Rt EFD △中，tan
9DE EFD EF =
=，arctan 9
EFD ∴=∠．
∴二面角A PC D --的大小为arctan
9
． 3.平移或延长（展）线（面）法
将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。

例3、正三角形ABC 的边长为10，A ∈平面α，B 、C 在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC 与α所成的角的正弦值。

解：设E 、F 分别为B 、C 的射影，连EF 并延长交BC 延长线于D ，连AD ；AE ∵E 、F 是B 、C 射影 ∴BE 丄α； ∵CF 丄α ∴BE ∥CF 又CF ：BE=
2
1
，
∴C 是BD 的中点 ∴BC=DC ，∵ΔABC 是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，又∠ACB+∠ACD=180° ，∴∠ACD=120°又AC=DC ， ∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠∴∠BAD=90°，∴BA 丄AD ， 又∵AE 是AB 在平面α上的射影，
∴AE ⊥AD 又 BA ⊥AD ，平面ABC ∩平面α=A ， ∴∠BAE 是平面ABC 与α所成的角，
∴BE ⊥平面α，∴ BE ⊥AE ， ∴ΔABC 是 Rt Δ
Sin ∠BAE=BE ：AB=52
，即平面ABC 与α所成角的正弦值为5
2。

4、射影公式
由公式S 射影=S 斜面cos θ，作出二面角的平面角直接求出。

运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

例4、如图，设M 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 与底面ABCD 所成的二面角的大小。

解：∵D 1D ⊥面ABCD ，C 1C ⊥面ABCD ，∴ ∆BMD 1在底面上的射影为∆BDC ，
设正方体的棱长a ，则S ∆BCD =2
1a 2
，BD 1=3a
所以∴MH =
22a ，S ∆BMD1=4
6a 2 由S ∆BDC =S ∆BMD1cos θ得θ=arccos 3
6
5、找（作）公垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。

解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． P
而CD 平面PCD ， A
D 所以 平面PCD ⊥平面PAD ．
同理可证 平面PAB ⊥平面PAD ． B C
因为 平面PCD ∩平面PAD ＝PD ，平面PAB ∩平面PAD ＝PA ，所以PA 、PD 与所求二面角的棱均垂直，即∠APD 为所求二面角的平面角，且∠APD ＝45°．
6、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角
例6、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ． (1) 求证:A 1C ⊥平面AEF ；
若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定
理：
“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等．”
试根据上述定理，在AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5时， D 1 C 1 求平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成角的大小(用反三 B 1 A 1 角函数值表示)． F E 解：(1)∵A 1B ⊥BC 即A 1B 是A 1C 的射影 D C
又∵A 1B ⊥AE ∴A 1C ⊥AE A G B 同理 A 1C ⊥AF
∴A 1C ⊥平面AEF (2) 的解法如下： 过C 作BD 的垂线交AB 于G ． 又D 1D ⊥CG ，故CG ⊥平面BB 1D 1D ．
而A 1C ⊥平面AEF((1)已证)，设CG 与A 1C 所成的角为α，则α即为平面BB 1D 1D 与平面AEF 所成的角．
Sin ∠BCG ＝Sin ∠ABD ＝53
，
Cos ∠BCG ＝54，GC ＝4
15
BG=49，AG=4
7
A 1G 2=A 1A 2+AG 2=
16
449
A 1C 2=A
B 2+AD 2+AA 1 2=50
在∆A 1CG 中，由余弦定理得 Cos ∠A 1CG=
25
2
12 由上述定理知平面BB 1D 1D 与平面AEF 所成的角大小为arccos 25
2
12 7.空间向量法
例7.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且
EC E C 31=．
A
B C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
解在：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．
依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，
，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==，，，，，，
1
1(224)(204)AC DA =--=，，，，，． （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DB DE D =， 所以1A C ⊥平面DBE ．
（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则
DE ⊥n ，1DA ⊥n ．
故20y z +=，240x z +=．
令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． 1
AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，
42
14
=
=
C A n ． 所以二面角1A DE B --
的大小为． 参考资料：
《5年高考三年模拟》首都师范大学出版社 《优化探究》黄河出版社。